如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,SA⊥平面ABCD,且SA=AB,点E在SD上,且SD=3SE。(1)证明:AE⊥AB;(2)求二面角E-AC-D的正切值。-高三数学

题目简介

如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,SA⊥平面ABCD,且SA=AB,点E在SD上,且SD=3SE。(1)证明:AE⊥AB;(2)求二面角E-AC-D的正切值。-高三数学

题目详情

如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,SA⊥平面ABCD,且SA=AB,点E在SD上,且SD=3SE。
(1)证明:AE⊥AB;
(2)求二面角E-AC-D的正切值。
题型:解答题难度:中档来源:模拟题

答案

解:(1)因为SA⊥平面ABCD,
所以AB⊥SA
又因为四边形ABCD是正方形,
所以AB⊥AD
又AD∩SA=A,
所以AB⊥平面SAD
又AE平面SAD,
所以AE⊥AB。
(2)如图,在AD上取一点O,使AD=3AO,连接EO
因为SD=3SE,
所以EO∥SA,
所以EO⊥平面ABCD
过点O作OH⊥AC交AC于H,连接EH,
则EH⊥AC
所以∠EHO为二面角E-AC-D的平面角,
因为
在Rt△AHO中,


即二面角E-AC-D的正切值为

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