如图,在直角梯形ABCD中,∠ADC=90°,CD∥AB,AB=4,AD=CD=2,将△ADC沿AC折起,使平面ADC⊥平面ABC,得到几何体D-ABC,如图所示。(1)求证:BC⊥平面ACD;(2)

题目简介

如图,在直角梯形ABCD中,∠ADC=90°,CD∥AB,AB=4,AD=CD=2,将△ADC沿AC折起,使平面ADC⊥平面ABC,得到几何体D-ABC,如图所示。(1)求证:BC⊥平面ACD;(2)

题目详情

如图,在直角梯形ABCD中,∠ADC=90°,CD∥AB,AB=4,AD=CD=2,将△ADC沿AC折起,使平面ADC⊥平面ABC,得到几何体D-ABC,如图所示。
(1)求证:BC⊥平面ACD;
(2)求BD与平面ABC所成角θ的正弦值。
题型:解答题难度:中档来源:模拟题

答案

解:(1)由于
从而
故AC⊥BC
取AC的中点O,连接DO,则DO⊥AC,
又平面ADC⊥平面ABC,平面ADC∩平面ABC=AC,
DO平面ACD,
从而DO⊥平面ABC
所以DO⊥BC
又AC⊥BC,AC∩DO=O,
所以BC⊥平面ACD。
(2)作DH⊥AC于H,易得H为AC中点,连接HB
因为平面ADC⊥平面ABC,平面ADC∩平面ABC=AC,
且DH面ADC,
所以DH⊥平面ABC
所以∠DBH即为BD与平面ABC所成角θ
在Rt△BCH中,
在Rt△BHD中,
所以

更多内容推荐