如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAB为正三角形，AB=2，BC=，PC⊥BD，E为AB的中点．(1)证明：PE⊥平面ABCD；(2)求二面角A-PD-B的大小．-高三数学

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如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAB为正三角形，AB=2，BC=，PC⊥BD，E为AB的中点．
(1)证明：PE⊥平面ABCD；
(2)求二面角A-PD-B的大小．

题型：解答题难度：中档来源：湖北省模拟题

答案

解：如图，(1)设BD与CE交于点O，，
∴∠OBC+∠OCB=90°，
从而∠BOC=90°，即BD⊥CE，
又PC⊥BD，且PC∩CE=C，
∴BD⊥平面PCE，∴BD⊥PE，
又∵△PAB为正三角形，E为AB的中点，
∴PE⊥AB，∴PE⊥平面ABCD．
(2)PE⊥平面ABCD，∴平面PAB⊥平面ABCD，
又AD⊥AB，
∴平面PAB⊥平面PAD，
设F为PA的中点，连接BF，则BF⊥PA，
∴BF⊥平面PAD，过点F作FG⊥PD于G，连接BG，
则BG⊥PD，∠BGF为二面角A-PD-B的平面角，
在△PFG及△BGF中，
，
，
∴，
∴二面角P-AD-B的大小为arctan3。

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如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAB为正三角形，AB=2，BC=，PC⊥BD，E为AB的中点．(1)证明：PE⊥平面ABCD；(2)求二面角A-PD-B的大小．-高三数学

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