如图在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,AB=2,PA=1,PA⊥平面ABCD,E是PC的中点,F是AB的中点.(1)求证:BE∥平面PDF;(2)求证:平面PDF⊥平面PA

题目简介

如图在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,AB=2,PA=1,PA⊥平面ABCD,E是PC的中点,F是AB的中点.(1)求证:BE∥平面PDF;(2)求证:平面PDF⊥平面PA

题目详情

如图在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是菱形,∠BAD=60 °,AB=2,PA=1,PA⊥平面ABCD,E是PC的中点,F是AB的中点.
(1)求证:BE∥平面PDF;
(2)求证:平面PDF⊥平面PAB;
(3)求二面角P﹣BC﹣A的大小.
题型:解答题难度:中档来源:福建省月考题

答案

证明:(1)取PD的中点M,
∵E是PC的中点
∴ME是△PCD的中位线
∴ME∥FB
∴四边形MEBF是平行四边形
∴BE∥MF
∵BE∥平面PDF,
MF平面PDF
∴BE∥平面PDF.
(2)连接BD,易得△ABD为等边三角形
又由F为AB的中点
∴DF⊥AB
又∵PA⊥平面ABCD,
∴PA⊥DF
又由PA∩AB=A
∴DF⊥平面PAB
又∵DF平面PDF
∴平面PDF⊥平面PAB.
(3)过点A做AH⊥CB延长线于H,
因为PA⊥面ABCD,
所以PH⊥BC,
既∠PHA为二面角P﹣BC﹣A的平面角,
在Rt△ABC中
所以∠PHA=30°既二面角P﹣BC﹣A的大小为30°.

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