如图,四棱锥S-ABCD的底面是正方形,SD⊥平面ABCD,SD=2a,AD=,点E是SD上的点,且DE=λa(0<λ≤2)。(1)求证:对任意的λ∈(0,2),都有AC⊥BE;(2)设二面角C-AE

题目简介

如图,四棱锥S-ABCD的底面是正方形,SD⊥平面ABCD,SD=2a,AD=,点E是SD上的点,且DE=λa(0<λ≤2)。(1)求证:对任意的λ∈(0,2),都有AC⊥BE;(2)设二面角C-AE

题目详情

如图,四棱锥S-ABCD的底面是正方形,SD⊥平面ABCD,SD=2a,AD=,点E是SD上的点,且DE=λa(0<λ≤2)。
(1)求证:对任意的λ∈(0,2),都有AC⊥BE;
(2)设二面角C-AE-D的大小为θ,直线BE与平面ABCD所成的角为φ,若tanθ·tanφ=1,求λ的值。
题型:解答题难度:中档来源:湖北省高考真题

答案

解:(1)如图,连接BE、BD,由底面ABCD是正方形可得AC⊥BD。
SD⊥平面ABCD,
∴BD是BE在平面ABCD上的射影,
∴AC⊥BE。
(2)如图,由SD⊥平面ABCD知,∠DBE=
∵SD⊥平面ABCD,CD平面ABCD,
∴SD⊥CD。
又底面ABCD是正方形,
∴CD⊥AD,而SD∩AD=D,CD⊥平面SAD
连接AE、CE,过点D在平面SAD内作DE⊥AE于F,连接CF,则CF⊥AE,
故∠CDF是二面角C-AE-D的平面角,即∠CDF=θ。
在Rt△BDE中,∵BD=2a,DE=

在Rt△ADE中,∵

从而
中,
,得

,解得,即为所求。

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