已知函数f(x)=x+1x2+3,x∈[0,a](a>0).(1)当a=2时,求函数f(x)的最大值;(2)函数f(x)的值域恰为[13,12],试求出所有满足条件的自然数a所构成的集合.-数学

题目简介

已知函数f(x)=x+1x2+3,x∈[0,a](a>0).(1)当a=2时,求函数f(x)的最大值;(2)函数f(x)的值域恰为[13,12],试求出所有满足条件的自然数a所构成的集合.-数学

题目详情

已知函数f(x)=
x+1
x2+3
,x∈[0,a](a>0)

(1)当a=2时,求函数f(x)的最大值;
(2)函数f(x)的值域恰为[
1
3
1
2
]
,试求出所有满足条件的自然数a所构成的集合.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)f(x)=class="stub"x+1
x2-1+4
=class="stub"1
x-1+class="stub"4
x+1
=class="stub"1
x+1+class="stub"4
x+1
-2
≤class="stub"1
2×2-2
=class="stub"1
2
⇔x=1
时等号成立(4分)
即当x=1∈[0,2]时f(x)的最大值为class="stub"1
2
(6分)
(2)假设存在这样的自然数a满足条件,
由(1)知当x=1时,ymax=class="stub"1
2
则1∈[0,a];所以a≥1(18分)
又f(x)在[0,1]上单增,在[1,a]上单减;且f(0)=class="stub"1
3

所以只需f(a)=class="stub"a+1
a2+3
≥class="stub"1
3
(11分)
解得0≤a≤3
又a≥1且a为自然数,所以a构成的集合为{1,2,3}.(13分)

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