已知函数f(x)=x+1x2+3，x∈[0，a](a＞0)．（1）当a=2时，求函数f（x）的最大值；（2）函数f（x）的值域恰为[13，12]，试求出所有满足条件的自然数a所构成的集合．-数学

题目简介

已知函数f(x)=

x+1

x2+3

，x∈[0，a](a＞0)．
（1）当a=2时，求函数f（x）的最大值；
（2）函数f（x）的值域恰为[

，

]，试求出所有满足条件的自然数a所构成的集合．

题型：解答题难度：中档来源：不详

（1）f(x)=class="stub"x+1

x2-1+4

=class="stub"1

x-1+class="stub"4

x+1

=class="stub"1

x+1+class="stub"4

x+1

-2

≤class="stub"1

2×2-2

=class="stub"1

⇔x=1时等号成立（4分）
即当x=1∈[0，2]时f（x）的最大值为class="stub"1

（6分）
（2）假设存在这样的自然数a满足条件，
由（1）知当x=1时，ymax=class="stub"1

则1∈[0，a]；所以a≥1（18分）
又f（x）在[0，1]上单增，在[1，a]上单减；且f（0）=class="stub"1

所以只需f(a)=class="stub"a+1

a2+3

≥class="stub"1

（11分）
解得0≤a≤3
又a≥1且a为自然数，所以a构成的集合为{1，2，3}．（13分）