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今年雷锋日，某中学从高中三个年级选派4名教师和20名学生去当雷锋志愿者，学生的名额分配如下：高一年级高二年级高三年级10人6人4人（I）若从20名学生中选出3人参加文明交通宣传-高二数学

题目简介

今年雷锋日，某中学从高中三个年级选派4名教师和20名学生去当雷锋志愿者，学生的名额分配如下：高一年级高二年级高三年级10人6人4人（I）若从20名学生中选出3人参加文明交通宣传-高二数学

题目详情

今年雷锋日，某中学从高中三个年级选派4名教师和20名学生去当雷锋志愿者，学生的名额分配如下：
高一年级高二年级高三年级
10人6人4人
（I）若从20名学生中选出3人参加文明交通宣传，求他们中恰好有1人是高一年级学生的概率；
（II）若将4名教师安排到三个年级（假设每名教师加入各年级是等可能的，且各位教师的选择是相互独立的），记安排到高一年级的教师人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（I）设“他们中恰好有1人是高一年级学生”为事件A，则P(A)=
C110
C210
C320
=class="stub"15
38

答：若从选派的学生中任选3人进行文明交通宣传活动，他们中恰好有1人是高一年级学生的概率为class="stub"15
38
．…（4分）
（II）解法1：ξ的所有取值为0，1，2，3，4．由题意可知，每位教师选择高一年级的概率均为class="stub"1
3
．所以…（6分）P(ξ=0)=
C04
(class="stub"1
3
)0(class="stub"2
3
)4=class="stub"16
81
；P(ξ=1)=
C14
(class="stub"1
3
)1(class="stub"2
3
)3=class="stub"32
81
；P(ξ=2)=
C24
(class="stub"1
3
)2(class="stub"2
3
)2=class="stub"24
81
=class="stub"8
27
；P(ξ=3)=
C34
(class="stub"1
3
)3(class="stub"2
3
)1=class="stub"8
81
；
P(ξ=4)=
C44
(class="stub"1
3
)4(class="stub"2
3
)0=class="stub"1
81
．…（11分）
随机变量ξ的分布列为：
ξ01234
Pclass="stub"16
81
class="stub"32
81
class="stub"8
27
class="stub"8
81
class="stub"1
81
…（12分）
所以Eξ=0×class="stub"16
81
+1×class="stub"32
81
+2×class="stub"24
81
+3×class="stub"8
81
+4×class="stub"1
81
=class="stub"4
3
…（13分）
解法2：由题意可知，每位教师选择高一年级的概率均为class="stub"1
3
．…（5分）
则随机变量ξ服从参数为4，class="stub"1
3
的二项分布，即ξ～B(4，class="stub"1
3
)．…（7分）
随机变量ξ的分布列为：
ξ01234
Pclass="stub"16
81
class="stub"32
81
class="stub"8
27
class="stub"8
81
class="stub"1
81
所以Eξ=np=4×class="stub"1
3
=class="stub"4
3
…（13分）

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