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甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答，然后由乙回答剩余3题，每人答对其中2题就停止答题，即闯关成功．已知在6道-高三数学

题目简介

甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答，然后由乙回答剩余3题，每人答对其中2题就停止答题，即闯关成功．已知在6道-高三数学

题目详情

甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答，然后由乙回答剩余3题，每人答对其中2题就停止答题，即闯关成功．已知在6道被选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对每道题的概率都是
2
3
．
（Ⅰ）求甲、乙至少有一人闯关成功的概率；
（Ⅱ）设甲答对题目的个数为X，求X的分布列及数学期望．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）设甲、乙闯关成功分别为事件A、B，
则P(
.
A
)=
C14
•
C22
C36
=class="stub"4
20
=class="stub"1
5
，
P(
.
B
)=(1-class="stub"2
3
)3+
C23
class="stub"2
3
(1-class="stub"2
3
)2=class="stub"1
27
+class="stub"2
9
=class="stub"7
27
，
则甲、乙至少有一人闯关成功的概率是1-P(
.
A
•
.
B
)=1-P(
.
A
)•P(
.
B
)=1-class="stub"1
5
×class="stub"7
27
=class="stub"128
135
．

（Ⅱ）因为甲能答对4道题，所以无论怎么选3道题甲至少答对1道题．
所以ξ=1，2，3
P（ξ=1）=（2C2*4C1）/6C3=4/20
P（ξ=2）=（2C1*4C2）/6C3=12/20
P（ξ=3）=（2C0*4C3）/6C3=4/20
由题知X的可能取值是1，2．
P(X=1)=
C14
C22
C36
=class="stub"1
5
，P(X=2)=
C24
C12
+
C34
C36
=class="stub"4
5
，
则X的分布列为
X12
Pclass="stub"1
5
class="stub"4
5
∴EX=1×class="stub"1
5
+2×class="stub"4
5
=class="stub"9
5
．

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