如图,在三棱锥P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,且PA=5,PB=4,PC=3.设点M为底面ABC内一点,定义f(M)=(m,n,p),其中m,n,p分别为三棱锥M-PAB、M-PBC、M-PC

题目简介

如图,在三棱锥P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,且PA=5,PB=4,PC=3.设点M为底面ABC内一点,定义f(M)=(m,n,p),其中m,n,p分别为三棱锥M-PAB、M-PBC、M-PC

题目详情

如图,在三棱锥P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,且PA=5,PB=4,PC=3.设点M为底面ABC内一点,定义f(M)=(m,n,p),其中m,n,p分别为三棱锥M-PAB、M-PBC、M-PCA的体积.若f(M)=(4,3x,3y),且ax-8xy+y≥0恒成立,则正实数a的取值范围是______.
题型:填空题难度:偏易来源:不详

答案

∵PA、PB、PC两两垂直,且PA=5,PB=4,PC=3.
∴VP-ABC=class="stub"1
3
×class="stub"1
2
×3×4×5=10=4+3x+3y
即x+y=2,且x,y为正数
若ax-8xy+y≥0恒成立,
则2(class="stub"1
x
+class="stub"a
y
)≥16恒成立
又∵(class="stub"1
x
+class="stub"a
y
)(x+y)=1+a+class="stub"y
x
+class="stub"ax
y
≥1+a+2
a

∴1+a+2
a
≥16
a
≥3或
a
≤-5(舍去)
即a≥9
则正实数a的取值范围是[9,+∞)
故答案为:[9,+∞)

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