首页 > 设f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，当x＞1时，f（x）＜0且有f（xy）=f（x）+f（y）；（1）求f（1）的值；（2）求证：0＜x＜1时，f（x）＞0；（3）判断f（x）的单调性并证明之；（

设f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，当x＞1时，f（x）＜0且有f（xy）=f（x）+f（y）；（1）求f（1）的值；（2）求证：0＜x＜1时，f（x）＞0；（3）判断f（x）的单调性并证明之；（

题目简介

设f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，当x＞1时，f（x）＜0且有f（xy）=f（x）+f（y）；（1）求f（1）的值；（2）求证：0＜x＜1时，f（x）＞0；（3）判断f（x）的单调性并证明之；（

题目详情

设f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，当x＞1时，f（x）＜0且有f（xy）=f（x）+f（y）；
（1）求f（1）的值；
（2）求证：0＜x＜1时，f（x）＞0；
（3）判断f（x）的单调性并证明之；
（4）若f（
1
2
）=2，求不等式f（x）+f（2-x）＜2的解集．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）令x=y=1得：f（1）=f（1）+f（1），
解得f（1）=0，
令x=-x、y=1得：f（-x）=f（x）+f（1）=f（x）
∴f（x）为偶函数；
（2）函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，
证明如下：设x1＞x2＞0，则
x1
x2
＞1，
∵当x＞1时f（x）＜0，f（xy）=f（x）+f（y），
∴f（x1）=f（x2•
x1
x2
）=f（x2）+f（
x1
x2
），
则f（
x1
x2
）=f（x1）-f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（0，+∞）为单调减函数；
（3）由（1）知f（1）=0，
由（2）知，f（x）在（0，+∞）为单调减函数；
∴0＜x＜1时，f（x）＞f（1）=0，
（4）∵f（xy）=f（x）+f（y），且f（class="stub"1
2
）=2
∴f（x）+f（2-x）＜2化为：f[x（2-x）]＜f（class="stub"1
2
），
∵f（x）在（0，+∞）为单调减函数，
∴
x＞0
2-x＞0
x(2-x)＞class="stub"1
2
，解得0＜x＜1+
2
2
，
故所求的解集为：（0，1+
2
2
）．

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