定义在(0,+∞)上的可导函数f(x)满足f′(x)•x<f(x)且f(2)=0则f(x)x<0的解集为()A.(0,2)B.(0,2)∪(2,+∞)C.(2,+∞)D.∅-数学

题目简介

定义在(0,+∞)上的可导函数f(x)满足f′(x)•x<f(x)且f(2)=0则f(x)x<0的解集为()A.(0,2)B.(0,2)∪(2,+∞)C.(2,+∞)D.∅-数学

题目详情

定义在(0,+∞)上的可导函数f(x)满足f′(x)•x<f(x)且f(2)=0则
f(x)
x
<0的解集为(  )
A.(0,2)B.(0,2)∪(2,+∞)C.(2,+∞)D.∅
题型:单选题难度:中档来源:不详

答案

根据题意,由f′(x)•x<f(x)可得f′(x)•x-f(x)<0,
即[xf(x)]′=f′(x)•x-f(x)<0,
令g(x)=xf(x),则g(x)在(0,+∞)上为减函数,
又由f(2)=0,则g(2)=2f(2)=0,
即当0<x<2时,有xf(x)<0,
当x>2时,有xf(x)<0,
又由x>0,则
f(x)
x
<0⇔xf(x)<0,
f(x)
x
<0的解集为(2,+∞),
故选C.

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