函数f(x)=cx+d1+x2是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,且f(1)=12(1)求实数c和d,并确定函数f(x)的解析式;(2)判断f(x)在(-1,1)上的单调性,并用定义证明你的结论.-数学

题目简介

函数f(x)=cx+d1+x2是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,且f(1)=12(1)求实数c和d,并确定函数f(x)的解析式;(2)判断f(x)在(-1,1)上的单调性,并用定义证明你的结论.-数学

题目详情

函数f(x)=
cx+d
1+x2
是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,且f(1)=
1
2

(1)求实数c和d,并确定函数f(x)的解析式;
(2)判断f(x)在(-1,1)上的单调性,并用定义证明你的结论.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)函数f(x)=class="stub"cx+d
1+x2
是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,
可得f(0)=0,解得d=0.
再由f(1)=class="stub"c
2
=class="stub"1
2
,可得 c=1.
故函数的解析式为 f(x)=class="stub"x
1+x2

(2)由函数的解析式可得函数在(-1,1)上是增函数.
证明:设-1<x1<x2<1,则 f(x1)-f(x2)=
x1
1+x12
-
x2
1+x22
 
=
x1(1+x22)-x2(1+x12)
(1+x12)(1+x22)
=
x1-x2+x1•x2(x2-x1)
(1+x12)(1+x22)
=
( x1-x2)(1-x1x2)
(1+x12)(1+x22)

由题设可得 x1-x2<0,1-x1x2>0,∴
( x1-x2)(1-x1x2)
(1+x12)(1+x22)
<0,
故有f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2),故函数在(-1,1)上是增函数.

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