首页 > 已知函数f(x)=4x4x+2（1）试求f(1n)+f(n-1n)(n∈N*)的值；（2）若数列{an}满足an=f（0）+f(1n)+f(2n)+…+f(n-1n)+f（1）（n∈N*），求数列{a

已知函数f(x)=4x4x+2（1）试求f(1n)+f(n-1n)(n∈N*)的值；（2）若数列{an}满足an=f（0）+f(1n)+f(2n)+…+f(n-1n)+f（1）（n∈N*），求数列{a

题目简介

已知函数f(x)=4x4x+2（1）试求f(1n)+f(n-1n)(n∈N*)的值；（2）若数列{an}满足an=f（0）+f(1n)+f(2n)+…+f(n-1n)+f（1）（n∈N*），求数列{a

题目详情

已知函数f(x)=
4x
4x+2

（1）试求f(
1
n
)+f(
n-1
n
)(n∈N*)的值；
（2）若数列{an}满足an=f（0）+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)+f（1）（n∈N*），求数列{an}的通项公式；
（3）若数列{bn}满足bn=2n+1•an，Sn是数列{bn}前n项的和，是否存在正实数k，使不等式knSn＞4bn对于一切的n∈N*恒成立？若存在指出k的取值范围，并证明；若不存在说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（本小题满分16分）
（1）∵f（x）+f（1-x）=
4x
4x+2
+
41-x
41-x+2
=
4x
4x+2
+class="stub"4
4+2•4x
=1
∴f（class="stub"1
n
）+f（class="stub"n-1
n
）=1．（5分）
（2）∵an=f（0）+f(class="stub"1
n
)+f(class="stub"2
n
)+…+f(class="stub"n-1
n
)+f（1）（n∈N*），①
∴an=f(1)+f(class="stub"n-1
n
)+f(class="stub"n-2
n
)+…+f（class="stub"1
n
）+f（0）（n∈N*），②
由（1），知 f（class="stub"1
n
）+f（class="stub"n-1
n
）=1，
∴①+②，得2an=n+1，
∴an=class="stub"n+1
2
．（10分）
（3）∵bn=2n+1•an，∴bn=(n+1)•2n，
∴Sn=2•21+3•22+4•23+…+（n+1）•2n，①
∴2Sn=2•22+3•23+4•24+…+n•2n+（n+1）•2n+1，②
①-②得-Sn=4+22+23+…+2n-(n+1)•2n+1，
即Sn=n•2n+1，（12分）
要使得不等式knSn＞4bn恒成立，即kn2-2n-2＞0对于一切的n∈N*恒成立，
n=1时，k-2-2＞0成立，即k＞4．
设g（n）=kn2-2n-2，
当k＞4时，由于对称轴直线n=class="stub"1
k
＜1，且 g（1）=k-2-2＞0，而函数f（x）在[1，+∞） 是增函数，
∴不等式knSn＞bn恒成立，
即当k＞4时，不等式knSn＞bn对于一切的n∈N*恒成立 …（16分）

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