首页 > 已知函数f(x)=2-xx-1+aln(x-1)（a∈R）．（1）若函数f（x）在区间[2，+∞）上是单调递增函数，试求实数a的取值范围；（2）当a=2时，求证：1-1x-1＜2ln(x-1)＜2x-

已知函数f(x)=2-xx-1+aln(x-1)（a∈R）．（1）若函数f（x）在区间[2，+∞）上是单调递增函数，试求实数a的取值范围；（2）当a=2时，求证：1-1x-1＜2ln(x-1)＜2x-

题目简介

已知函数f(x)=2-xx-1+aln(x-1)（a∈R）．（1）若函数f（x）在区间[2，+∞）上是单调递增函数，试求实数a的取值范围；（2）当a=2时，求证：1-1x-1＜2ln(x-1)＜2x-

题目详情

已知函数f(x)=
2-x
x-1
+aln(x-1)（a∈R）．
（1）若函数f（x）在区间[2，+∞）上是单调递增函数，试求实数a的取值范围；
（2）当a=2时，求证：1-
1
x-1
＜2ln(x-1)＜2x-4（x＞2）；
（3）求证：
1
4
+
1
6
+…+
1
2n
＜lnn＜1+
1
2
+…+
1
n-1
（n∈N*且n≥2）．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）因为f ′(x)=
a(x-1)-1
(x-1)2
，若函数f（x）在区间[2，+∞）上是单调递增函数，则f′（x）≥0恒成立，即a≥class="stub"1
x-1
恒成立，所以a≥(class="stub"1
x-1
)max．
又x∈[2，+∞），则0＜class="stub"1
x-1
≤1，所以a≥1．
（2）当a=2时，由（Ⅰ）知函数f(x)=class="stub"2-x
x-1
+2ln(x-1)在[2，+∞）上是增函数，
所以当x＞2时，f（x）＞f（2），即class="stub"2-x
x-1
+2ln(x-1)＞0，则2ln(x-1)＞class="stub"x-2
x-1
=1-class="stub"1
x-1
．
令g（x）=2x-4-2ln（x-1），则有g′(x)=2-class="stub"2
x-1
=
2(x-2)
x-1
，
当x∈（2，+∞）时，有g′（x）＞0，
因此g（x）=2x-4-2ln（x-1）在（2，+∞）上是增函数，所以有g（x）＞g（2）=0，
即可得到2x-4＞2ln（x-1）．
综上有1-class="stub"1
x-1
＜2ln(x-1)＜2x-4（x＞2）．
（3）在（2）的结论中令x-1=class="stub"t+1
t
，则class="stub"1
t+1
＜2lnclass="stub"t+1
t
＜2•class="stub"1
t
，
取t=1，2，…，n-1，（n∈N*，n≥2）时，得到（n-1）个不等式，将所得各不等式相加得，class="stub"1
2
+class="stub"1
3
+…+class="stub"1
n
＜2(lnclass="stub"2
1
+lnclass="stub"3
2
+…+lnclass="stub"n
n-1
)＜2(1+class="stub"1
2
+…+class="stub"1
n-1
)，
所以class="stub"1
2
+class="stub"1
3
+…+class="stub"1
n
＜2lnn＜2(1+class="stub"1
2
+…+class="stub"1
n-1
)，
即class="stub"1
4
+class="stub"1
6
+…+class="stub"1
2n
＜lnn＜1+class="stub"1
2
+…+class="stub"1
n-1
（n∈N*且n≥2）

更多内容推荐

Copyright © 2018-2020 360优课网