首页 > 已知定义域为R的函数f（x）=b-2x2x+a是奇函数．（1）求a，b的值；（2）用定义证明f（x）在（-∞，+∞）上为减函数；（3）若对于任意t∈R，不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0恒成

已知定义域为R的函数f（x）=b-2x2x+a是奇函数．（1）求a，b的值；（2）用定义证明f（x）在（-∞，+∞）上为减函数；（3）若对于任意t∈R，不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0恒成

题目简介

已知定义域为R的函数f（x）=b-2x2x+a是奇函数．（1）求a，b的值；（2）用定义证明f（x）在（-∞，+∞）上为减函数；（3）若对于任意t∈R，不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0恒成

题目详情

已知定义域为R的函数f（x）=
b-2x
2x+a
是奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）用定义证明f（x）在（-∞，+∞）上为减函数；
（3）若对于任意t∈R，不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0恒成立，求k的范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵f（x）为R上的奇函数，∴f（0）=0，可得b=1
又∵f（-1）=-f（1）
∴
1-2-1
2-1+a
=-
1-2 
2 +a
，解之得a=1
经检验当a=1且b=1时，f（x）=
1-2x
2x+1
，满足f（-x）=-f（x）是奇函数．    …（4分）
（2）由（1）得f（x）=
1-2x
2x+1
=-1+
2 
2x+1
，
任取实数x1、x2，且x1＜x2
则f（x1）-f（x2）=
2 
2x1+1
-
2 
2x2+1
=
2(2x2-2x1)
(2x1+1)(2x2+1)

∵x1＜x2，可得2x1＜2x2，且(2x1+1)(2x2+1)＞0
∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），函数f（x）在（-∞，+∞）上为减函数；     …（8分）
（3）根据（1）（2）知，函数f（x）是奇函数且在（-∞，+∞）上为减函数．
∴不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0恒成立，即f（t2-2t）＜-f（2t2-k）=f（-2t2+k）
也就是：t2-2t＞-2t2+k对任意的t∈R都成立．
变量分离，得k＜3t2-2t对任意的t∈R都成立，
∵3t2-2t=3（t-class="stub"1
3
）2-class="stub"1
3
，当t=class="stub"1
3
时有最小值为-class="stub"1
3

∴k＜-class="stub"1
3
，即k的范围是（∞，-class="stub"1
3
）．                                  …（12分）

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