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求证：对于任意的正整数n，(1+2)n必可表示成s+s-1的形式，其中s∈N+．-数学

题目简介

求证：对于任意的正整数n，(1+2)n必可表示成s+s-1的形式，其中s∈N+．-数学

题目详情

求证：对于任意的正整数n，(1+
2
)n必可表示成
s
+
s-1
的形式，其中s∈N+．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

证明：(1+
2
)n=1+
C1n
2
+
C2n
(
2
)2+
C3n
(
2
)3+…+
Cnn
(
2
)n
设其中的整数项的和为p，含有
2
项的和为Q，
则(1+
2
)n=P+Q，(
2
-1)n=Q-P，
(1+
2
)n=
P2
+
Q2
，
∵Q2-P2=（P+Q）（Q-P）=(1+
2
)n•(
2
-1)n=（2-1）n=1，
令Q2=s，则P2=s-1．
∴(1+
2
)n=
s-1
+
s
，其中s∈N+．

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