某企业有两个生产车间分别在A、B两个位置,A车间有100名员工,B车间有400名员工,现要在公路AC上找一点D,修一条公路BD,并在D处建一个食堂,使得所有员工均在此食堂用餐,已-高三数学

题目简介

某企业有两个生产车间分别在A、B两个位置,A车间有100名员工,B车间有400名员工,现要在公路AC上找一点D,修一条公路BD,并在D处建一个食堂,使得所有员工均在此食堂用餐,已-高三数学

题目详情

某企业有两个生产车间分别在A、B两个位置,A车间有100名员工,B车间有400名员工,现要在公路AC上找一点D,修一条公路BD,并在D处建一个食堂,使得所有员工均在此食堂用餐,已知A、B、C中任意两点间的距离均是1km,设∠BDC=α,所有员工从车间到食堂步行的总路程为S.
(1)写出S关于α的函数表达式,并指出α的取值范围;
(2)问食堂D建在距离A多远时,可使总路程S最少?
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)在△BCD中,∵class="stub"BD
sin60°
=class="stub"BC
sinα
=class="stub"CD
sin(120°-α)

BD=
3
2
sinα
CD=
sin(120°-α)
sinα

AD=1-
sin(120°-α)
sinα

S=400•
3
2
sinα
+100[1-
sin(120°-α)
sinα
]=50-50
3
•class="stub"cosα-4
sinα
,其中class="stub"π
3
≤α<class="stub"2π
3


(2)S′=-50
3
-sinα•sinα-(cosα-4)cosα
sin2α
=50
3
•class="stub"1-4cosα
sin2α

令S'=0,得cosα=class="stub"1
4

cosα>class="stub"1
4
时,S'<0,S是α的单调减函数;
cosα<class="stub"1
4
时,S'>0,S是α的单调增函数.
∴当cosα=class="stub"1
4
时,S取得最小值.
此时,sinα=
15
4

AD=1-
sin(120°-α)
sinα
=1-
3
2
cosα+class="stub"1
2
sinα
sinα
=class="stub"1
2
-
3
cosα
2sinα
=class="stub"1
2
-
3
2
class="stub"1
4
15
4
=class="stub"1
2
-
5
10

更多内容推荐