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已知正数x，y满足x+y+1x+9y=10，则x+y的最大值为______．-数学

题目简介

已知正数x，y满足x+y+1x+9y=10，则x+y的最大值为______．-数学

题目详情

已知正数x，y满足 x+y+
1
x
+
9
y
=10，则x+y的最大值为______．
题型：填空题难度：中档来源：不详

答案

因为x+y+class="stub"1
x
+class="stub"9
y
=10，
所以(x+y)(x+y+class="stub"1
x
+class="stub"9
y
)=10(x+y)
即(x+y)2+class="stub"x+y
x
 +
9(x+y)
y
=10(x+y)，
化简得(x+y)2+class="stub"y
x
+class="stub"9x
y
+10=10(x+y)             (1)
因为class="stub"y
x
+class="stub"9x
y
≥2
class="stub"y
x
•class="stub"9x
y
=6，（当且仅当 y=3x 时 取等号）
所以 （1）式化为（x+y）2+6+10≤10（x+y）
即（x+y）2-10（x+y）+16≤0
解得2≤x+y≤8，
由
y=3x
x+y=8
，解得
x=2
y=6

所以 当x=2，y=6时，x+y的最大值为8

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