首页 > 已知函数f(x)=x+ax+2，x∈[1，+∞)．（Ⅰ）当a=12时，利用函数单调性的定义判断并证明f（x）的单调性，并求其值域；（Ⅱ）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0，求实数a的取值范围．-数

已知函数f(x)=x+ax+2，x∈[1，+∞)．（Ⅰ）当a=12时，利用函数单调性的定义判断并证明f（x）的单调性，并求其值域；（Ⅱ）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0，求实数a的取值范围．-数

题目简介

已知函数f(x)=x+ax+2，x∈[1，+∞)．（Ⅰ）当a=12时，利用函数单调性的定义判断并证明f（x）的单调性，并求其值域；（Ⅱ）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0，求实数a的取值范围．-数

题目详情

已知函数f(x)=x+
a
x
+2，x∈[1，+∞)．
（Ⅰ）当a=
1
2
时，利用函数单调性的定义判断并证明f（x）的单调性，并求其值域；
（Ⅱ）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0，求实数a的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）任取x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2，
则△x=x2-x1＞0，△y=f(x2)-f(x1)=x2+class="stub"a
x2
+2-x1-class="stub"a
x1
-2=(x2-x1)(1-class="stub"a
x1x2
)，…（2分）
当a=class="stub"1
2
时，f(x2)-f(x1)=(x2-x1)(1-class="stub"1
2x1x2
)，
∵1≤x1＜x2，∴x2-x1＞0，1-class="stub"1
2x1x2
＞0，恒成立
∴△y＞0，
∴f（x）在[1，+∞）上是增函数，
∴当x=1时，f（x）取得最小值为f(1)=1+class="stub"1
2
+2=class="stub"7
2
，
∴f（x）的值域为[class="stub"7
2
，+∞)．
（Ⅱ）f(x)=x+class="stub"a
x
+2可变为f(x)=
x2+2x+a
x
，
∵对任意x∈[1，+∞)，f(x)=
x2+2x+a
x
＞0，恒成立
∴只需对任意x∈[1，+∞），x2+2x+a＞0恒成立．
设g（x）=x2+2x+a，x∈[1，+∞），
∵g（x）的对称轴为x=-1，∴只需g（1）＞0便可，g（1）=3+a＞0，
∴a＞-3．

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