首页 > 已知a∈R，函数f（x）=x2|x-a|．（Ⅰ）当a=1时，求使f（x）=x成立的x的集合；（Ⅱ）判断函数y=f（x）的奇偶性；（Ⅲ）当a＞2时，求函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值．-数学

已知a∈R，函数f（x）=x2|x-a|．（Ⅰ）当a=1时，求使f（x）=x成立的x的集合；（Ⅱ）判断函数y=f（x）的奇偶性；（Ⅲ）当a＞2时，求函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值．-数学

题目简介

已知a∈R，函数f（x）=x2|x-a|．（Ⅰ）当a=1时，求使f（x）=x成立的x的集合；（Ⅱ）判断函数y=f（x）的奇偶性；（Ⅲ）当a＞2时，求函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值．-数学

题目详情

已知a∈R，函数f（x）=x2|x-a|．
（Ⅰ） 当a=1时，求使f（x）=x成立的x的集合；
（Ⅱ） 判断函数y=f（x）的奇偶性；
（Ⅲ）当a＞2时，求函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值．
题型：解答题难度：中档来源：汕头一模

答案

（Ⅰ）由题意，当a=1时，f（x）=x2|x-1|，
当x≤1时，由f（x）=x2（1-x）=x，解得x=0；
当x＞1时，由f（x）=x2（x-1）=x，解得x=
1+
5
2
．
综上，所求解集为{0，
1+
5
2
}．
（Ⅱ）可以对a进行如下分类讨论：
（1）当a=0时，f（x）=x2|x|=f（-x），x∈R，显然，函数f（x）是偶函数．
（2）当a≠0时，令x=±1可得：f（1）=|1-a|，f（-1）=|-1-a|=|1+a|
显然f（1）≠f（-1）≠-f（1），
故函数f（x）是非奇非偶函数．
（Ⅲ）设此最小值为m，当a＞2时，在区间[1，2]上，f（x）=ax2-x3，f′(x)=2ax-3x2=3x(class="stub"2
3
a-x)．
（1）若a≥3，在区间（1，2）内f'（x）＞0，从而f（x）为区间[1，2]上的增函数，
由此得m=f（1）=a-1．
（2）若2＜a＜3，则1＜class="stub"2
3
a＜2．
当1＜x＜class="stub"2
3
a时，f'（x）＞0，从而f（x）为区间[1，class="stub"2
3
a]上的增函数；
当class="stub"2
3
a＜x＜2时，f'（x）＜0，从而f（x）为区间[class="stub"2
3
a，2]上的减函数．
因此，当2＜a＜3时，m=f（1）=a-1或m=f（2）=4（a-2）．
当2＜a≤class="stub"7
3
时，4（a-2）≤a-1，故m=f（2）=4（a-2）；
当class="stub"7
3
＜a＜3时，a-1＜4（a-2），故m=f（1）=a-1．
综上所述，所求函数的最小值m=
a-1，a＞class="stub"7
3
4a-8，2＜a≤class="stub"7
3
．

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