设函数f(x)=x33-x2-3x-3a,(a大于0).(1)如果a=1,点p为曲线y=f(x)上一个动点,求以P为切点的切线其斜率取最小值时的切线方程;(2)若x∈[a,3a]时,f(x)≥0恒成立

题目简介

设函数f(x)=x33-x2-3x-3a,(a大于0).(1)如果a=1,点p为曲线y=f(x)上一个动点,求以P为切点的切线其斜率取最小值时的切线方程;(2)若x∈[a,3a]时,f(x)≥0恒成立

题目详情

设函数f(x)=
x3
3
-x2-3x-3a,(a大于0)
.(1)如果a=1,点p为曲线y=f(x)上一个动点,求以P为切点的切线其斜率取最小值时的切线方程;
(2)若x∈[a,3a]时,f(x)≥0恒成立,求a的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ)设切线斜率为k则k=f'(x)=x2-2x-3,当x=1时k最小值为-4.
f(1)=-class="stub"20
3
所以切线方程为y+class="stub"20
3
=-4(x-1)即12x+3y+8=0
(Ⅱ)由k=f'(x)=x2-2x-3>0,k=f'(x)=x2-2x-3<0<0得.
函数f(x)=
x3
3
-x2-3x-3a
,(a>0)在(-∞,-1),(3,+∞)为增函数,在(-1,3)减函数
(1)
0<a<3a≤3
f(3a)≥0
,无解;
(2)
0<a<3<3a
f(3)≥0
无解;
(3)
a≥3
f(a)≥0
,解得a≥6.综上所述a≥6.

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