首页 > 已知函数f（x）=x+ax2+b是定义在R上的奇函数，其值域为[-14，14]．（1）试求a、b的值；（2）函数y=g（x）（x∈R）满足：①当x∈[0，3）时，g（x）=f（x）；②g（x+3）=g

已知函数f（x）=x+ax2+b是定义在R上的奇函数，其值域为[-14，14]．（1）试求a、b的值；（2）函数y=g（x）（x∈R）满足：①当x∈[0，3）时，g（x）=f（x）；②g（x+3）=g

题目简介

已知函数f（x）=x+ax2+b是定义在R上的奇函数，其值域为[-14，14]．（1）试求a、b的值；（2）函数y=g（x）（x∈R）满足：①当x∈[0，3）时，g（x）=f（x）；②g（x+3）=g

题目详情

已知函数f（x）=
x+a
x2+b
是定义在R上的奇函数，其值域为[-
1
4
，
1
4
]．
（1）试求a、b的值；
（2）函数y=g（x）（x∈R）满足：①当x∈[0，3）时，g（x）=f（x）；②g（x+3）=g（x）lnm（m≠1）．
①求函数g（x）在x∈[3，9）上的解析式；
②若函数g（x）在x∈[0，+∞）上的值域是闭区间，试探求m的取值范围，并说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：盐城二模

答案

（1）由函数f（x）定义域为R，∴b＞0．
又f（x）为奇函数，则f（-x）=-f（x）对x∈R恒成立，得a=0．（2分）
因为y=f（x）=class="stub"x
x2+b
的定义域为R，所以方程yx2-x+by=0在R上有解．
当y≠0时，由△≥0，得-class="stub"1
2
b
≤y≤class="stub"1
2
b
，
而f（x）的值域为[-class="stub"1
4
，class="stub"1
4
]，所以class="stub"1
2
b
=class="stub"1
4
，解得b=4；
当y=0时，得x=0，可知b=4符合题意．所以b=4．（5分）
（2）①因为当x∈[0，3）时，g（x）=f（x）=class="stub"x
x2+4
，
所以当x∈[3，6）时，g（x）=g（x-3）lnm=
(x-3)lnm
(x-3)2+4
；（6分）
当x∈[6，9）时，g（x）=g（x-6）（lnm）2=
(x-6)(lnm)2
(x-6)2+4
，
故g(x)=
(x-3)lnm
(x-3)2+4
    x∈[3，6)
(x-6)(lnm)2
(x-6)2+4
  x∈[6，9)
（9分）
②因为当x∈[0，3）时，g（x）=class="stub"x
x2+4
在x=2处取得最大值为class="stub"1
4
，在x=0处取得最小值为0，（10分）
所以当3n≤x＜3n+3（n≥0，n∈Z）时，g（x）=
(x-3n)(lnm)2
(x-3n)2+4
分别在x=3n+2和x=3n处取得最值为
(lnm)n
4
与0．（11分）
（ⅰ） 当|lnm|＞1时，g（6n+2）=
(lnm)2n
4
的值趋向无穷大，从而g（x）的值域不为闭区间；（12分）
（ⅱ） 当lnm=1时，由g（x+3）=g（x）得g（x）是以3为周期的函数，从而g（x）的值域为闭区间[0，class="stub"1
4
]；（13分）
（ⅲ） 当lnm=-1时，由g（x+3）=-g（x）得g（x+6）=g（x），得g（x）是以6为周期的函数，
且当x∈[3，6）时g（x）=
-(x-3)
(x-3)2+4
值域为[-class="stub"1
4
，0]，从而g（x）的值域为闭区间[-class="stub"1
4
，class="stub"1
4
]；（14分）
（ⅳ） 当0＜lnm＜1时，由g（3n+2）=
(lnm)n
4
＜class="stub"1
4
，得g（x）的值域为闭区间[0，class="stub"1
4
]；（15分）
（ⅴ） 当-1＜lnm＜0时，由class="stub"lnm
4
≤g（3n+2）=
(lnm)n
4
＜class="stub"1
4
，从而g（x）的值域为闭区间[-class="stub"lnm
4
，class="stub"1
4
]．
综上知，当m∈[class="stub"1
e
，1]∪（1，e]，即0＜lnm≤1或-1≤lnm＜0时，g（x）的值域为闭区间．（16分）

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