已知函数f(x)=lnx+ax-a(a∈R)(I)求f(x)的单调区间;(II)求证:不等式1lnx-1x-1<12对一切x∈(1,2)恒成立.-数学

题目简介

已知函数f(x)=lnx+ax-a(a∈R)(I)求f(x)的单调区间;(II)求证:不等式1lnx-1x-1<12对一切x∈(1,2)恒成立.-数学

题目详情

已知函数f(x)=lnx+
a
x
-a(a∈R)

(I)求f(x)的单调区间;
(II)求证:不等式
1
lnx
-
1
x-1
1
2
对一切x∈(1,2)
恒成立.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(I)求导函数,可得f′(x)=class="stub"1
x
-class="stub"a
x2
=class="stub"x-a
x2
(x>0)
若a≤0,则f′(x)>0,函数为增函数,函数的单调增区间为(0,+∞)
若a>0,令f′(x)>0,可得x>a,令f′(x)<0,可得0<x<a,
∴f(x)的单调增区间为(a,+∞),单调减区间为(0,a);
(II)证明:设f(x)=class="stub"1
lnx
-class="stub"1
x-1
-class="stub"1
2
,求导函数,可得f'(x)=-class="stub"1
xln2x
+class="stub"1
(x-1)2
=
(x-1)2-xln2x
x(x-1)2ln2

令g(x)=(x-1)2-x(lnx)2,g'(x)=2(x-1)-(lnx)2-2lnx,g“(x)=
2(x-lnx-1)
x

设h(x)=x-lnx-1,x∈(1,2),h'(x)=1-class="stub"1
x
>0,
∴h(x)在(1,2)上单调增,∴h(x)>h(1)=0,
∴g“(x)>0,g'(x)在(1,2)上单调增,∴g'(x)>g'(1)=0,
∴g(x)在(1,2)上单调增,∴g(x)>g(1)=0,
∴f'(x)<0,∴f(x)在(1,2)上单调减,f(x)<f(2)<0,
class="stub"1
lnx
-class="stub"1
x-1
-class="stub"1
2
<0

class="stub"1
lnx
-class="stub"1
x-1
<class="stub"1
2

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