已知函数f(x)=(12x-1+12)x3.(1)求f(x)的定义域;(2)判断f(x)的奇偶性;(3)证明f(x)>0.-数学

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已知函数f(x)=(12x-1+12)x3.(1)求f(x)的定义域;(2)判断f(x)的奇偶性;(3)证明f(x)>0.-数学

题目详情

已知函数f(x)=(
1
2x-1
+
1
2
)x3
(1)求f(x)的定义域;
(2)判断f(x)的奇偶性;
(3)证明 f(x)>0.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)由函数的解析式可得 2x-1≠0,解得x≠0,故函数的定义域为 {x|x∈R,且 x≠0}.
(2)显然函数的定义域关于原点对称,f(-x)=(class="stub"1
2-x-1
+class="stub"1
2
)(-x)3=(
2x
1-2x
+class="stub"1
2
)(-x)3 
=(
2x-1+1
1-2x
+class="stub"1
2
)(-x)3
=(-1+class="stub"1
1-2x
+class="stub"1
2
)(-x)3=-(class="stub"1
2x-1
+class="stub"1
2
)(-x)3=(class="stub"1
2x-1
+class="stub"1
2
)x3 =f(x),
故函数f(x)为偶函数.
(3)当x>0时,class="stub"1
2x-1
+class="stub"1
2
class="stub"1
2
,x3>0,∴函数f(x)=(class="stub"1
2x-1
+class="stub"1
2
)x3 >0.
当x<0时,class="stub"1
2x-1
<-1,class="stub"1
2x-1
+class="stub"1
2
<0,x3<0,∴函数f(x)=(class="stub"1
2x-1
+class="stub"1
2
)x3 >0.
综上可得,f(x)>0.

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