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已知函数f（x）=xax+b（a、b是非零实常数）满足f（1）=12，且方程f（x）=x有且仅有一个实数解．（1）求a、b的值；（2）在直角坐标系中，求定点A（0，2）到函数f（x）图象上任意一点P（

题目简介

已知函数f（x）=xax+b（a、b是非零实常数）满足f（1）=12，且方程f（x）=x有且仅有一个实数解．（1）求a、b的值；（2）在直角坐标系中，求定点A（0，2）到函数f（x）图象上任意一点P（

题目详情

已知函数f（x）=
x
ax+b
（a、b是非零实常数）满足f（1）=
1
2
，且方程f（x）=x有且仅有一个实数解．
（1）求a、b的值；
（2）在直角坐标系中，求定点A（0，2）到函数f（x）图象上任意一点P（x，y）的距离|AP|的最小值．
（3）当x∈（
1
4
，
1
2
]时，不等式（x+1）•f（x）＞m（m-x）-1恒成立，求实数m的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵f（x）=class="stub"x
ax+b
，且f（1）=class="stub"1
2
，
∴class="stub"1
a+b
=class="stub"1
2
，即a+b=2；
又class="stub"x
ax+b
=x有且仅有一个实数解，
∴x（class="stub"1-ax-b
ax+b
）=0有且仅有一个实数解，为0．
∴b=1，a=1．
∴f（x）=class="stub"x
x+1
．
（2）由（1）知，P（x，class="stub"x
x+1
），
|AP|2=(class="stub"x
x+1
-2)2+x2
=(class="stub"-x-2
x+1
)2+x2
=(class="stub"1
x+1
+1)2+[（x+1）-1]2，
令t=class="stub"1
x+1
，
则|AP|2=t2+2t+1+(class="stub"1
t
)2-class="stub"2
t
+1
=(t-class="stub"1
t
)2+2（t-class="stub"1
t
）+4，
令r=t-class="stub"1
t
，
则|AP|2=r2+2r+4=（r+1）2+3，
∴当r=-1，即t-class="stub"1
t
=-1，t=
-1±
5
2
时，|AP|的最小值为
3
．
（3）∵x∈（class="stub"1
4
，class="stub"1
2
]，
∴x+1＞class="stub"5
4
＞0，
∴（x+1）•f（x）＞m（m-x）-1恒成立⇔x＞m（m-x）-1恒成立⇔（1+m）x＞m2-1，
当m+1＞0，即m＞-1时，
有m-1＜x恒成立⇔m＜x+1⇔m＜（x+1）min，
∴-1＜m＜class="stub"5
4
；
当m+1＜0，即m＜-1时，同理可得m＞（x+1）max=class="stub"3
2
，
∴此时m不存在．
综上得-1＜m＜class="stub"5
4
．

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