首页 > 如图，四棱锥的底面是正方形，平面．，，是上的点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的余弦值．-高三数学

如图，四棱锥的底面是正方形，平面．，，是上的点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的余弦值．-高三数学

题目简介

如图，四棱锥的底面是正方形，平面．，，是上的点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的余弦值．-高三数学

题目详情

如图，四棱锥的底面是正方形，平面．，，是上的点．

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）见解析   （Ⅱ）
（Ⅰ）证明：连结．


因为底面是正方形，
所以．
因为平面，平面，
所以．……………………………………………………………………3分
又因为，
所以平面．……………………5分
因为平面，
所以．…………………………7分
（Ⅱ）因为平面，
所以．
因为底面是正方形，
所以．
又因为，
所以平面，所以．…………………………………………10分
过点在平面内作于，连结．
由于，
所以平面．
所以．
故是二面角的平面角．………………………………………12分
在中，，，可求得．
在中，，，可求得．
所以．
即二面角的余弦值为．…………………………………………14分
解法（二）（Ⅰ）如图以为原点建立空间直角坐标系．
则，，，，，，
，
．…………………3分
．
所以．即．…………………………………………………………7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，．
设平面的法向量为，则由
，，得
 即
取，得．……………………………………………………………11分
易知平面的一个法向量为．
设二面角的平面角为．
则．
即二面角的余弦值为．

更多内容推荐

Copyright © 2018-2020 360优课网