如图,四棱锥的底面是正方形,平面.,,是上的点.(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)求二面角的余弦值.-高三数学

题目简介

如图,四棱锥的底面是正方形,平面.,,是上的点.(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)求二面角的余弦值.-高三数学

题目详情

如图,四棱锥的底面是正方形,平面上的点.

(Ⅰ)求证:
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ)见解析   (Ⅱ)
(Ⅰ)证明:连结


因为底面是正方形,
所以
因为平面平面
所以.……………………………………………………………………3分
又因为
所以平面.……………………5分
因为平面
所以.…………………………7分
(Ⅱ)因为平面
所以
因为底面是正方形,
所以
又因为
所以平面,所以.…………………………………………10分
过点在平面内作,连结
由于
所以平面
所以
是二面角的平面角.………………………………………12分
中,,可求得
中,,可求得
所以
即二面角的余弦值为.…………………………………………14分
解法(二)(Ⅰ)如图以为原点建立空间直角坐标系


.…………………3分

所以.即.…………………………………………………………7分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
设平面的法向量为,则由
,得
 即
,得.……………………………………………………………11分
易知平面的一个法向量为
设二面角的平面角为

即二面角的余弦值为

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