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> 已知长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=BC=4,AA1=8,E、F分别为AD和CC1的中点,O1为下底面正方形的中心。(Ⅰ)证明:AF⊥平面FD1B1;(Ⅱ)求异面直线EB与O1F所成角的余弦
已知长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=BC=4,AA1=8,E、F分别为AD和CC1的中点,O1为下底面正方形的中心。(Ⅰ)证明:AF⊥平面FD1B1;(Ⅱ)求异面直线EB与O1F所成角的余弦
题目简介
已知长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=BC=4,AA1=8,E、F分别为AD和CC1的中点,O1为下底面正方形的中心。(Ⅰ)证明:AF⊥平面FD1B1;(Ⅱ)求异面直线EB与O1F所成角的余弦
题目详情
已知长方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中,AB=BC=4,AA
1
=8,E、F分别为AD和CC
1
的中点,O
1
为下底面正方形的中心。
(Ⅰ)证明:AF⊥平面FD
1
B
1
;
(Ⅱ)求异面直线EB与O
1
F所成角的余弦值;
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
(Ⅰ)证明见解析(Ⅱ)
本题考查空间的线面关系,向量法及其运算。
(Ⅰ)证法一:如图建立空间直角坐标系。则D1(0,0,0)、O1(2,2,0)
B1(4,4,0)、E(2,0,8)、A(4,0,8)、B(4,4,8)、
F(0,4,4)。
=(-4,4,-4),
=(0,4,4),
=(-4,0,4)
=0+16-16=0,
=16+0-16=0
∴AF⊥平面FD1B1.
证法二:连结BF、DF,则BF是AF在面BC1上的射影,易证得BF⊥B1F,
DF是AF在面DC1上的射影,也易证得DF⊥D1F,所
以AF⊥平面FD1B1.
(Ⅱ)解法一:
=(2,4,0),
=(-2,2,4)
设
与
的夹角为
,则
=
……
解法二:在B1C1上取点H,使B1H=1,连O1H和FH。
易证明O1H∥EB,则∠FO1H为异面直线EB与
F所成角。
又O1H=
BE=
,HF=
=5,
O1F=
=2
,
∴在△O1HF中,由余弦定理,得
cos∠FO1H=
=
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如图,梯形ABCD中,CD//AB,,E是AB的
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题目简介
已知长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=BC=4,AA1=8,E、F分别为AD和CC1的中点,O1为下底面正方形的中心。(Ⅰ)证明:AF⊥平面FD1B1;(Ⅱ)求异面直线EB与O1F所成角的余弦
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设
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又O1H=
O1F=
∴在△O1HF中,由余弦定理,得
cos∠FO1H=