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已知长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=4，AA1=8，E、F分别为AD和CC1的中点，O1为下底面正方形的中心。（Ⅰ）证明：AF⊥平面FD1B1；（Ⅱ）求异面直线EB与O1F所成角的余弦

题目简介

已知长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=4，AA1=8，E、F分别为AD和CC1的中点，O1为下底面正方形的中心。（Ⅰ）证明：AF⊥平面FD1B1；（Ⅱ）求异面直线EB与O1F所成角的余弦

题目详情

已知长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=4，AA1=8，E、F分别为AD和CC1的中点，O1为下底面正方形的中心。
（Ⅰ）证明：AF⊥平面FD1B1；
（Ⅱ）求异面直线EB与O1F所成角的余弦值；               
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）
本题考查空间的线面关系，向量法及其运算。
（Ⅰ）证法一：如图建立空间直角坐标系。则D1（0，0，0）、O1（2，2，0）
B1（4，4，0）、E（2，0，8）、A（4，0，8）、B（4，4，8）、
F（0，4，4）。            
=（-4，4，-4），=（0，4，4），
=（-4，0，4）          
=0+16-16=0，=16+0-16=0
∴AF⊥平面FD1B1.            
证法二：连结BF、DF，则BF是AF在面BC1上的射影，易证得BF⊥B1F，
DF是AF在面DC1上的射影，也易证得DF⊥D1F，所
以AF⊥平面FD1B1.
（Ⅱ）解法一：=（2，4，0），=（-2，2，4）  
设与的夹角为，则
=……
解法二：在B1C1上取点H，使B1H=1，连O1H和FH。
易证明O1H∥EB，则∠FO1H为异面直线EB与F所成角。
又O1H=BE=，HF==5，
O1F==2，
∴在△O1HF中，由余弦定理，得

cos∠FO1H==

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