三棱锥P—ABC中,△PAC是边长为4的等边三角形,△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,平面PAC⊥平面ABC,D、E分别为AB、PB的中点.(1)求证:AC⊥PD;(2)求二面角E—AC—B

题目简介

三棱锥P—ABC中,△PAC是边长为4的等边三角形,△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,平面PAC⊥平面ABC,D、E分别为AB、PB的中点.(1)求证:AC⊥PD;(2)求二面角E—AC—B

题目详情

三棱锥P—ABC中,△PAC是边长为4的等边三角形,△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,平面PAC⊥平面ABC,D、E分别为AB、PB的中点.
(1)求证:AC⊥PD;
(2)求二面角E—AC—B的正切值;


 
(3)求三棱锥P—CDE与三棱锥P—ABC的体积之比.

 
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)见解析(2)(3)


 
(1)取AC中点O,∵△PAC为等边三角形,∴PO⊥AC,

又∵面PAC⊥面ABC,PO面PAC,
∴PO⊥面ABC,连结OD,则OD//BC,
∴DO⊥AC,
由三垂线定理知AC⊥PD.
(2)连接OB,过E作EF⊥OB于F,
又∵面POB⊥面ABC,∴EF⊥面ABC,
过F作FG⊥AC,连接EG,由三垂线定理知EG⊥AC,
∴∠EGF即为二面角E—AC—B的平面角

 
(3)由题意知

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