三棱锥P—ABC中，△PAC是边长为4的等边三角形，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，平面PAC⊥平面ABC，D、E分别为AB、PB的中点.（1）求证：AC⊥PD；（2）求二面角E—AC—B

题目简介

三棱锥P—ABC中，△PAC是边长为4的等边三角形，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，平面PAC⊥平面ABC，D、E分别为AB、PB的中点.
（1）求证：AC⊥PD；
（2）求二面角E—AC—B的正切值；

（3）求三棱锥P—CDE与三棱锥P—ABC的体积之比.

题型：解答题难度：中档来源：不详

（1）见解析（2）

（3）

（1）取AC中点O，∵△PAC为等边三角形，∴PO⊥AC，

又∵面PAC⊥面ABC，PO

面PAC，
∴PO⊥面ABC，连结OD，则OD//BC，
∴DO⊥AC，
由三垂线定理知AC⊥PD.
（2）连接OB，过E作EF⊥OB于F，
又∵面POB⊥面ABC，∴EF⊥面ABC，
过F作FG⊥AC，连接EG，由三垂线定理知EG⊥AC，
∴∠EGF即为二面角E—AC—B的平面角
在

在

∴

（3）由题意知

又

即