△ABC是正三角形,线段EA和DC都垂直于平面ABC.设EA=AB=2a,DC=a,且F为BE的中点,如图.(1)求证:DF∥平面ABC;(2)求证:AF⊥BD;(3)求平面BDF与平面ABC所成二面

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△ABC是正三角形,线段EA和DC都垂直于平面ABC.设EA=AB=2a,DC=a,且F为BE的中点,如图.

(1)求证:DF∥平面ABC;
(2)求证:AF⊥BD;
(3)求平面BDF与平面ABC所成二面角的大小.

题型：解答题难度：偏易来源：不详

答案

(1)证明:如图所示,取AB中点G,连结CG、FG.

∵EF=FB,AG=GB,
∴FG

.
又DC

,∴FG

DC.
∴四边形CDFG为平行四边形,
故DF∥CG.
∵

平面ABC,

平面ABC,
∴DF∥平面ABC.
(2)证明:∵EA⊥平面ABC,
∴EA⊥CG.
又△ABC是正三角形，
∴CG⊥AB.
∴CG⊥平面AEB.
∴CG⊥AF.
又∵DF∥CG,∴DF⊥AF.
又AE=AB,F为BE中点,
∴AF⊥BE.又BE∩DF=F,
∴AF⊥平面BDE.
∴AF⊥BD.
(3)解:延长ED交AC延长线于G′,连结BG′.
由

,CD∥AE知D为EG′中点,
∴FD∥BG′.
由CG⊥平面ABE,FD∥CG,
∴BG′⊥平面ABE.
∴∠EBA为所求二面角的平面角.
在等腰直角三角形AEB中,易求∠ABE="45°."

空间直线和平面

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△ABC是正三角形,线段EA和DC都垂直于平面ABC.设EA=AB=2a,DC=a,且F为BE的中点,如图.(1)求证:DF∥平面ABC;(2)求证:AF⊥BD;(3)求平面BDF与平面ABC所成二面

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