如图，四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面边长和侧棱长都等于2，平面A1ACC1⊥平面ABCD，∠ABC＝∠A1AC＝60°，点O为底面对角线AC与BD的交点.（Ⅰ）证明：A1O⊥平面ABCD；（Ⅱ

题目简介

如图，四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁的底面边长和侧棱长都等于2，平面A₁ACC₁⊥平面ABCD，∠ABC＝∠A₁AC＝60°，点O为底面对角线AC与BD的交点.
（Ⅰ）证明：A₁O⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角D—A₁A—C的平面角的正切值.

题型：解答题难度：中档来源：不详

（1）见解析（2）2

（Ⅰ）由已知AB＝BC＝2，∠ABC＝60°，则
△ ABC为正三角形，所以AC＝2.
△ 因为点O为AC的中点，则AO＝1.
又AA1＝2，∠A1AO＝60°，
在△A1OA中，由余弦定理，得

.
所以A1O2＋AO2＝AA12，所以A1O⊥AC.
因为平面AA1C1C⊥平面ABCD，其交线为AC，
所以A1O⊥平面ABCD.

（Ⅱ）因为底面ABCD为菱形，则BD⊥AC.又BD⊥A1O，则BD⊥平面A1ACC1.
过点O作OE⊥AA1垂足为E，连接DE，则AA1⊥DE，
所以∠DEO为二面角D－AA1－C的平面角.
在Rt△AOD中，OD=

.
在Rt△AEO中，OE＝AO·sin∠EAO＝

.
在Rt△DOE中，tan∠DEO＝

.
故二面角D—A1A—C的平面角的正切值为2.