正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为,M为正方形DCC1D1的中心,E、F分别为A1D1、BC的中点(1)求证:AM⊥平面B1FDE;(2)求点A到平面EDFB1的距离;(3)求二面角A-DE-

题目简介

正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为,M为正方形DCC1D1的中心,E、F分别为A1D1、BC的中点(1)求证:AM⊥平面B1FDE;(2)求点A到平面EDFB1的距离;(3)求二面角A-DE-

题目详情

正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为,M为正方形DCC1D1的中心,E、F分别为A1D1、BC的中点
(1)求证:AM⊥平面B1FDE;
(2)求点A到平面EDFB1的距离;
(3)求二面角A-DE-F的大小。
 
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)见解析(2)(3)
(1)证明:连接AM,过M作MG⊥CD于G,连接AG
∵正方体ABCD-A1B1C1D1,MG⊥CD
∴MG⊥平面ABCD
又∵M为正方形DCC1D1的中心,MG⊥CD
∴G为CD中点
在正方形ABCD中,F为CB中点 ∴CF=DG
又∵AD="DC     " ∠DCF=∠ADG=Rt∠
∴△ADG≌△DCF    ∴∠AGD=∠DFC    ∴AG⊥DF
由MG⊥平面ABCD,AG⊥DF可得AM⊥DF,
同理可得AM⊥DE
∴AM⊥平面B1FDE
(2)设A到平面DEB1F的距离为
∵E到平面ADF的距离为
  ∴
又∵    


              
(3)过F作FP⊥AD于P,过P作PQ⊥DE于Q,连接FQ
∵FP⊥平面DEP,PQ⊥DE
∴FQ⊥DE
∴∠FQP为二面角A-DE-F的平面角


在R t△FPQ中     
∴二面角A-DE-F的大小为 

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