如图,已知四棱锥P—ABCD的底面ABCD为等腰梯形,AB//CD,AC⊥DB,AC与BD相交于点O,且顶点P在底面上的射影恰为O点,又BO=2,PO=,PB⊥PD.(Ⅰ)求异面直线PD与BC所成角的

题目简介

如图,已知四棱锥P—ABCD的底面ABCD为等腰梯形,AB//CD,AC⊥DB,AC与BD相交于点O,且顶点P在底面上的射影恰为O点,又BO=2,PO=,PB⊥PD.(Ⅰ)求异面直线PD与BC所成角的

题目详情

如图,已知四棱锥P—ABCD的底面ABCD为等腰梯形,AB//CD,AC⊥DB,ACBD相交于点O,且顶点P在底面上的射影恰为O点,又BO=2,PO=PB⊥PD.
(Ⅰ)求异面直线PDBC所成角的余弦值;
(Ⅱ)求二面角P—AB—C的大小;
(Ⅲ)设点M在棱PC上,且,问为何值时,PC⊥平面BMD.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ)(Ⅱ)45°(Ⅲ)



以O为原点,OA,OB,OP分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则各点坐标为O(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C(-1,0,0),D(0,-1,0),P(0,0,).
(1)


故直线PD与BC所成的角的余弦值为
(2)设平面PAB的一个法向量为
由于

的一个法向量

又二面角P—AB—C不锐角.
∴所求二面角P—AB—C的大小为45°
(3)设三点共线,

                     (1)
               (2)
由(1)(2)知  
   

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