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> 如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,侧面PAD是正三角形,且侧面PAD⊥底面ABCD,E为侧棱PD的中点.(I)试判断直线PB与平面EAC的关系(文科不必证明,理科必须证明);(II)求证:AE⊥平
如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,侧面PAD是正三角形,且侧面PAD⊥底面ABCD,E为侧棱PD的中点.(I)试判断直线PB与平面EAC的关系(文科不必证明,理科必须证明);(II)求证:AE⊥平
题目简介
如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,侧面PAD是正三角形,且侧面PAD⊥底面ABCD,E为侧棱PD的中点.(I)试判断直线PB与平面EAC的关系(文科不必证明,理科必须证明);(II)求证:AE⊥平
题目详情
如图,四棱锥
P
-
ABCD
的底面是矩形,侧面
PAD
是正三角形,且侧面
PAD
⊥底面
ABCD
,
E
为侧棱
PD
的中点.
(I)试判断直线
PB
与平面
EAC
的关系
(文科不必证明,理科必须证明);
(II)求证:
AE
⊥平面
PCD
;
(III)若
AD
=
AB
,试求二面角
A
-
PC
-
D
的正切值.
题型:解答题
难度:偏易
来源:不详
答案
(I)
PB
∥平面
EAC
.(II)证明见解析 ,(III)二面角
A
-
PC
-
D
的正切值为
.
解法一:
(I)
PB
∥平面
EAC
.证明如下:
连结
BD
交
AC
于点
O
,连结
EO
,则
O
为
BD
的中点,
又∵
E
为
PD
的中点,∴
EO
∥
PB
,∴
PB
∥平面
EAC
.
(II)∵
CD
⊥
AD
,且侧面
PAD
⊥底面
ABCD
,
而侧面
PAD
底面
ABCD
=
AD
,
∴
CD
⊥侧面
PAD
,∴
CD
⊥
AE
.
∵侧面
PAD
是正三角形,
E
为侧棱
PD
的中点,
∴
AE
⊥
PD
,∴
AE
⊥平面
PCD
;
(III)过
E
作
EM
⊥
PC
于
M
,连结
AM
,由(2)及三垂线定理知
AM
⊥
PC
.
∴∠
AME
为二面角
A
-
PC
-
D
的平面角. 10分
由正三角形
PAD
及矩形
ABCD
,且
AD
=
AB
,∴
PD
=
AD
=
AB
=
DC
,
∴在等腰直角三角形
DPC
中,设
AB
=
a
,则
AE
=
a
,
PC
=
a
,
EM
=
×
a
. 12分
在
△
AEM
中,tan∠
AME
=
=
=
.
即二面角
A
-
PC
-
D
的正切值为
.
解法二:(I)同解法一
(II)设
N
为
AD
中点,
Q
为
BC
中点,则因为△
PAD
是正三角形,底面
ABCD
是矩形,所以,
PN
⊥
AD
,
QN
⊥
AD
,又因为侧面
PAD
⊥底面
ABCD
,所以,
PN
⊥面
ABCD
,
QN
⊥面
PAD
,以
N
为坐标原点,
NA
、
NQ
、
NP
所在直线分别为
x
,
y
,
z
轴如图建立空间直角坐标系.设
AD
=1,
AB
=
a
,则
,
,
,
,
,
.
∴
,
,
.
∴
,
.
∴
.又
,
PD
,
DC
面
PDC
,
∴
AE
⊥平面
PCD
;
(III)当
a
=1时,由(2)可知:
是平面
PDC
的法向量,
设平面
PAC
的法向量为
,则
,
,
即
,取
x
=1,可得:
y
=1,
z
=
.所以,
.
向量
与
所成角
的余弦值为:
.
∴tanq=
.
又由图可知,二面角
A
-
PC
-
D
的平面角为锐角,所以二面角
A
-
PC
-
D
的平面角就是向量
与
所成角
的补角.其正切值等于
. 14分
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已知平面α、β和直线a、b,若α
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如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的
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题目简介
如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,侧面PAD是正三角形,且侧面PAD⊥底面ABCD,E为侧棱PD的中点.(I)试判断直线PB与平面EAC的关系(文科不必证明,理科必须证明);(II)求证:AE⊥平
题目详情
是正三角形,且侧面PAD⊥底面ABCD,E为侧棱PD的中点.
(I)试判断直线PB与平面EAC的关系
(文科不必证明,理科必须证明);
(II)求证:AE⊥平面PCD;
(III)若AD=AB,试求二面角A-PC-D
的正切值.
答案
(I)PB∥平面EAC.证明如下:
连结BD交AC于点O,连结EO,则O为BD的中点,
又∵E为PD的中点,∴EO∥PB,∴PB∥平面EAC.
而侧面PAD
∴CD⊥侧面PAD,∴CD⊥AE.
∵侧面PAD是正三角形,E为侧棱PD的中点,
∴AE⊥PD,∴AE⊥平面PCD;
(III)过E作EM⊥PC于M,连结AM,由(2)及三垂线定理知AM⊥PC.
∴∠AME为二面角A-PC-D的平面角. 10分
由正三角形PAD及矩形ABCD,且AD=AB,∴PD=AD=AB=DC,
∴在等腰直角三角形DPC中,设AB=a,则AE=
在
即二面角A-PC-D的正切值为
解法二:(I)同解法一
(II)设N为AD中点,Q为BC中点,则因为△PAD是正三角形,底面ABCD是矩形,所以,PN⊥AD,QN⊥AD,又因为侧面PAD⊥底面ABCD,所以,PN⊥面ABCD,QN⊥面PAD,以N为坐标原点,NA、NQ、NP所在直线分别为x,y,z轴如图建立空间直角坐标系.设AD=1,AB=a,则
∴
∴
∴
∴AE⊥平面PCD;
(III)当a=1时,由(2)可知:
设平面PAC的法向量为
即
向量
∴tanq=
又由图可知,二面角A-PC-D的平面角为锐角,所以二面角A-PC-D的平面角就是向量