已知函数f(x)=x+1x:(1)判断并证明函数f(x)的奇偶性;(2)判断并证明f(x)在区间(1,+∞)上的单调性.-数学

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已知函数f(x)=x+1x:(1)判断并证明函数f(x)的奇偶性;(2)判断并证明f(x)在区间(1,+∞)上的单调性.-数学

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已知函数f(x)=x+
1
x

(1)判断并证明函数f(x)的奇偶性;
(2)判断并证明f(x)在区间(1,+∞)上的单调性.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)函数f(x)=x+class="stub"1
x
为奇函数,理由如下:
由已知函数的解析式f(x)=x+class="stub"1
x
可得函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)关于原点对称
又∵f(-x)=-x+class="stub"1
-x
=-(x+class="stub"1
x
)
=-f(x)
∴函数f(x)=x+class="stub"1
x
为奇函数
(2)f(x)在区间(1,+∞)上为增函数,理由如下:
任取x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2,
∴x1-x2<0,x1•x2>1,x1•x2-1>0,
又∵f(x1)-f(x2)=x1+class="stub"1
x1
-(x2+class="stub"1
x2
)=x1-x2+class="stub"1
x1
-class="stub"1
x2
=x1-x2-
x1-x2
x1x2
=(x1-x2)•(1-class="stub"1
x1x2
)
=(x1-x2)•
x1x2-1
x1x2

∴f(x1)-f(x2)<0
即f(x1)<f(x2)
故f(x)在区间(1,+∞)上为增函数.

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