已知函数f(x)=ax2+2x+c(a、c∈N*)满足:①f(1)=5;②6<f(2)<11.(1)求a、c的值;(2)若对任意的实数x∈[12,32],都有f(x)-2mx≤1成立,求实数m的取值范

题目简介

已知函数f(x)=ax2+2x+c(a、c∈N*)满足:①f(1)=5;②6<f(2)<11.(1)求a、c的值;(2)若对任意的实数x∈[12,32],都有f(x)-2mx≤1成立,求实数m的取值范

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已知函数f(x)=ax2+2x+c(a、c∈N*)满足:①f(1)=5;②6<f(2)<11.
(1)求a、c的值;
(2)若对任意的实数x∈[
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2
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2
],都有f(x)-2mx≤1成立,求实数m的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)∵f(1)=a+2+c=5,
∴c=3-a.①
又∵6<f(2)<11,即6<4a+c+4<11,②
将①式代入②式,得-class="stub"1
3
<a<class="stub"4
3
,又∵a、c∈N*,∴a=1,c=2.
(2)由(1)知f(x)=x2+2x+2.
证明:∵x∈[class="stub"1
2
class="stub"3
2
],∴不等式f(x)-2mx≤1恒成立⇔2(1-m)≤-(x+class="stub"1
x
)在[class="stub"1
2
class="stub"3
2
]上恒成立.
易知[-(x+class="stub"1
x
)]min=-class="stub"5
2

故只需2(1-m)≤-class="stub"5
2
即可.
解得m≥class="stub"9
4

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