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设α、β是方程x2-2kx+k+6=0的两个实根，则（α-1）2+（β-1）2的最小值是______．-数学

题目简介

设α、β是方程x2-2kx+k+6=0的两个实根，则（α-1）2+（β-1）2的最小值是______．-数学

题目详情

设α、β是方程x2-2kx+k+6=0的两个实根，则（α-1）2+（β-1）2的最小值是______．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

∵α、β是方程x2-2kx+k+6=0的两个实根，
∴判别式△=4k2-4（k+6）=4（k-3）（k+2）≥0，解得  k≥3，或 k≤-2．
且α+β=2k，αβ=k+6，
∴（α-1）2+（β-1）2 =α2+β2-2（α+β ）+2=（α+β）2-2αβ-2（α+β ）+2=4k2-2（k+6）-2•2k+2=4•(k-class="stub"3
4
)2-class="stub"49
4
，
故当k=3时，（α-1）2+（β-1）2有最小值是 4•(3-class="stub"3
4
)2-class="stub"49
4
=8，
故答案为 8．

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