首页 > 已知二次函数f(x)=ax2+bx+1和g(x)=bx-1a2x+2b（1）f（x）为偶函数，试判断g（x）的奇偶性；（2）若方程g（x）=x有两个不相等的实根，当a＞0时判断f（x）在（-1，1）上

已知二次函数f(x)=ax2+bx+1和g(x)=bx-1a2x+2b（1）f（x）为偶函数，试判断g（x）的奇偶性；（2）若方程g（x）=x有两个不相等的实根，当a＞0时判断f（x）在（-1，1）上

题目简介

已知二次函数f(x)=ax2+bx+1和g(x)=bx-1a2x+2b（1）f（x）为偶函数，试判断g（x）的奇偶性；（2）若方程g（x）=x有两个不相等的实根，当a＞0时判断f（x）在（-1，1）上

题目详情

已知二次函数f(x)=ax2+bx+1和g(x)=
bx-1
a2x+2b

（1）f（x）为偶函数，试判断g（x）的奇偶性；
（2）若方程g（x）=x有两个不相等的实根，当a＞0时判断f（x）在（-1，1）上的单调性；
（3）若方程g（x）=x的两实根为x1，x2f（x）=0的两根为x3，x4，求使x3＜x1＜x2＜x4成立的a的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）因为f（x）为偶函数，
所以f（-x）=f（x），即b=0，
所以g(x)=class="stub"bx-1
a2x+2b
=class="stub"-1
a2x
，定义域为{x|x≠0}，
所以g（-x）=-g（x），
所以函数g（x）是奇函数．
（2）由方程g（x）=x整理可得a2x2+bx+1=0，
因为方程g（x）=x有两个不相等的实根，
所以△=b2-4a2＞0，即|class="stub"b
2a
|＞1，即class="stub"b
2a
＞1或class="stub"b
2a
＜-1，
又因为函数f（x）=ax2+bx+1的对称轴为x=-class="stub"b
2a
，并且a＞0，
所以当-class="stub"b
2a
＜ -1时，f（x）在（-1，1）上是增函数；当-class="stub"b
2a
＞1时，f（x）在（-1，1）上是减函数．
（3）由
g(x)=x
f(x)=0
可得
a2x2+bx+1=0
ax2+bx+1=0
，
设α为x1与x2中的一个数，
则有
a2α2+bα+1=0
(α-x3)(α-x4)＜0
，
因为x3+x4=-class="stub"b
a
，x3x4=class="stub"1
a

所以有
a2α2+bα+1=0
α2+class="stub"b
a
α+class="stub"1
a
＜0   
．
当a＞0时有
a2α2+bα+1=0
aα2+bα+1＜0  
，
所以结合两式可得（a-a2）α2＜0，
解得：a＞1或a＜0（舍去）．
当a＜0时有
a2α2+bα+1=0
aα2+bα+1＞0 
，
所以所以结合两式可得（a-a2）α2＞0，
解得：0＜a＜1（舍去）．
综上可得a的取值范围为（1，+∞）．

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