首页 > 已知关于x的函数y=x2+1+cx2+c（1）若c=-1，求该函数的值域．（2）当c满足什么条件时，该函数的值域为[2，+∞）？说明你的理由．（3）求证：若c＞1，则y≥1+cc．-高一数学

已知关于x的函数y=x2+1+cx2+c（1）若c=-1，求该函数的值域．（2）当c满足什么条件时，该函数的值域为[2，+∞）？说明你的理由．（3）求证：若c＞1，则y≥1+cc．-高一数学

题目简介

已知关于x的函数y=x2+1+cx2+c（1）若c=-1，求该函数的值域．（2）当c满足什么条件时，该函数的值域为[2，+∞）？说明你的理由．（3）求证：若c＞1，则y≥1+cc．-高一数学

题目详情

已知关于x的函数y=
x2+1+c
x2+c

（1）若c=-1，求该函数的值域．
（2）当c满足什么条件时，该函数的值域为[2，+∞）？说明你的理由．
（3）求证：若c＞1，则y≥
1+c
c
．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

由于y=
x2+1+c
x2+c
，若令t=
x2+c
，则y=t+class="stub"1
t

（1）当c=-1时，t=
x2-1
＞0
则y=
x2+1-1
x2-1
=t+class="stub"1
t
≥2
t•class="stub"1
t
=2
当且仅当t=class="stub"1
t
即x=±
2
时等号成立，
∴该函数的值域为[2，+∞）；
（2）当c≤1时，该函数的值域为[2，+∞）．理由如下：
y=t+class="stub"1
t
（t＞0），
∴y≥2
当且仅当t=class="stub"1
t
即x=±
1-c
时等号成立，
∴该函数的值域为[2，+∞）；
（3）证：由于y=t+class="stub"1
t
(t≥
c
)
则y-class="stub"1+c
c
=
t2+1
t
-class="stub"1+c
c
=
c
t2+
c
-t-ct
c
•t
═
(
c
t-1)(t-
c
)
c
•t

∵t≥
c
，∴t-
c
≥0
又由
c
t≥c＞1，∴
c
t-1＞0
∴y≥class="stub"1+c
c
（当且仅当x=0时等号成立）

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