已知函数f(x)=2cos2x2-3sinx.(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和值域;(Ⅱ)若a为第二象限角,且f(a-π3)=13,求cos2a1+cos2a-sin2a的值.-数学

题目简介

已知函数f(x)=2cos2x2-3sinx.(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和值域;(Ⅱ)若a为第二象限角,且f(a-π3)=13,求cos2a1+cos2a-sin2a的值.-数学

题目详情

已知函数f(x)=2cos2
x
2
-
3
sinx

(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和值域;
(Ⅱ)若a为第二象限角,且f(a-
π
3
)=
1
3
,求
cos2a
1+cos2a-sin2a
的值.
题型:解答题难度:中档来源:惠州一模

答案

(Ⅰ)因为 f(x)=1+cosx-
3
sinx        …(1分)
=1+2cos(x+class="stub"π
3
),…(2分)
所以函数f(x)的周期为2π,值域为[-1,3].           …(4分)
(Ⅱ)因为 f(a-class="stub"π
3
)=class="stub"1
3

所以 1+2cosα=class="stub"1
3
,即cosα=-class="stub"1
3
.                             …(5分)
因为 class="stub"cos2a
1+cos2a-sin2a

=
cos2α-sin2α
2cos2α-2sinαcosα
      …(8分)
=
(cosα+sinα)(cosα-sinα)
2cosα(cosα-sinα)

=class="stub"cosα+sinα
2cosα
,…(10分)
又因为α为第二象限角,所以 sinα=
2
2
3
.                    …(11分)
所以原式=class="stub"cosα+sinα
2cosα

=
-class="stub"1
3
+
2
2
3
-class="stub"2
3

=
1-2
2
2
.                 …(13分)

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