首页 > 已知函数f（x）=sin（x+7π4）+cos（x-3π4），x∈R（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最小值；（Ⅱ）已知cos（β-α）=45，cos（β+α）=-45.0＜α＜β≤π2，求证：[f（β）

已知函数f（x）=sin（x+7π4）+cos（x-3π4），x∈R（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最小值；（Ⅱ）已知cos（β-α）=45，cos（β+α）=-45.0＜α＜β≤π2，求证：[f（β）

题目简介

已知函数f（x）=sin（x+7π4）+cos（x-3π4），x∈R（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最小值；（Ⅱ）已知cos（β-α）=45，cos（β+α）=-45.0＜α＜β≤π2，求证：[f（β）

题目详情

已知函数f（x）=sin（x+
7π
4
）+cos（x-
3π
4
），x∈R
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最小值；
（Ⅱ）已知cos（β-α）=
4
5
，cos（β+α）=-
4
5
.0＜α＜β≤
π
2
，求证：[f（β）]2-2=0．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）f（x）=sin（x+class="stub"7π
4
）+cos（x-class="stub"3π
4
）=sin（x-class="stub"π
4
）+sin（x-class="stub"π
4
）=2sin（x-class="stub"π
4
）
∴T=2π，最小值为-2
（Ⅱ）∵cos（β-α）=cosβcosα+sinβsinα=class="stub"4
5
，cos（β+α）=cosβcosα-sinβsinα=-class="stub"4
5
，
两式相加得2cosβcosα=0，
∵0＜α＜β≤class="stub"π
2
，
∴β=class="stub"π
2

∴[f（β）]2-2=4sin2class="stub"π
4
-2=0

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