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已知f（x）=sin2wx+32sin2wx-12（x∈R，w＞0），若f（x）的最小正周期为2π．（1）求f（x）的表达式和f（x）的单调递增区间；（2）求f（x）在区间[-π6，5π6]上的最大值

题目简介

已知f（x）=sin2wx+32sin2wx-12（x∈R，w＞0），若f（x）的最小正周期为2π．（1）求f（x）的表达式和f（x）的单调递增区间；（2）求f（x）在区间[-π6，5π6]上的最大值

题目详情

已知f（x）=sin2wx+
3
2
sin2wx-
1
2
（x∈R，w＞0），若f（x）的最小正周期为2π．
（1）求f（x）的表达式和f（x）的单调递增区间；
（2）求f（x）在区间[-
π
6
，
5π
6
]上的最大值和最小值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）由已知f（x）=sin2wx+
3
2
sin2wx-class="stub"1
2

=class="stub"1
2
（1-cos2wx）+
3
2
sin2wx-class="stub"1
2

=
3
2
sin2wx-class="stub"1
2
cos2wx
=sin（2wx-class="stub"π
6
）．
又由f（x）的周期为2π，则2π=class="stub"2π
2w
⇒2w=1⇒w=class="stub"1
2
，
⇒f（x）=sin（x-class="stub"π
6
），
2kπ-class="stub"π
2
≤x-class="stub"π
6
≤2kπ+class="stub"π
2
（k∈Z）⇒2kπ-class="stub"π
3
≤x≤2kπ+class="stub"2π
3
（k∈Z），
即f（x）的单调递增区间为
[2kπ-class="stub"π
3
，2kπ+class="stub"2π
3
]（k∈Z）．
（2）由x∈[-class="stub"π
6
，class="stub"5π
6
]⇒-class="stub"π
6
≤x≤class="stub"5π
6

⇒-class="stub"π
6
-class="stub"π
6
≤x-class="stub"π
6
≤class="stub"5π
6
-class="stub"π
6
⇒-class="stub"π
3
≤x-class="stub"π
6
≤class="stub"2π
3

⇒sin（-class="stub"π
3
）≤sin（x-class="stub"π
6
）≤sinclass="stub"π
2
．∴-
3
2
≤sin（x-class="stub"π
6
）≤1．
故f（x）在区间[-class="stub"π
6
，class="stub"5π
6
]的最大值和最小值分别为1和-
3
2
．

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