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设函数f（θ）=3sinθ+cosθ，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x，y），且0≤θ≤π．（I）若点P的坐标为(12，32)，求f（θ）的值；（II）若点P（

题目简介

设函数f（θ）=3sinθ+cosθ，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x，y），且0≤θ≤π．（I）若点P的坐标为(12，32)，求f（θ）的值；（II）若点P（

题目详情

设函数f（θ）=
3
sinθ+cosθ，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x，y），且0≤θ≤π．
（I）若点P的坐标为(
1
2
，
3
2
)，求f（θ）的值；
（II）若点P（x，y）为平面区域Ω：
x+y≥1
x≤1
y≤1
，上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f（θ）的最小值和最大值．
题型：解答题难度：中档来源：福建

答案

解（I）由点P的坐标和三角函数的定义可得：
sinθ=
3
2
cosθ=class="stub"1
2

于是f（θ）=
3
sinθ+cosθ=
3
×
3
2
+class="stub"1
2
=2


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（II）作出平面区域Ω（即感触区域ABC）如图所示
其中A（1，0），B（1，1），C（0，1）
于是0≤θ≤class="stub"π
2

∴f（θ）=
3
sinθ+cosθ=2sin(θ+class="stub"π
6
)
且class="stub"π
6
≤θ+class="stub"π
6
≤class="stub"2π
3

故当θ+class="stub"π
6
=class="stub"π
2
，即θ=class="stub"π
3
时，f（θ）取得最大值2
当θ+class="stub"π
6
=class="stub"π
6
，即θ=0时，f（θ）取得最小值1

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