已知函数f(x)=cos2x+3sinxcosx-12.(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程;(Ⅱ)已知锐角三角形ABC的三个内角分别为A、B、C,若f(A-π6)=1,BC=7,sin

题目简介

已知函数f(x)=cos2x+3sinxcosx-12.(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程;(Ⅱ)已知锐角三角形ABC的三个内角分别为A、B、C,若f(A-π6)=1,BC=7,sin

题目详情

已知函数f(x)=cos2x+
3
sinx
cosx-
1
2

(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程;
(Ⅱ)已知锐角三角形ABC的三个内角分别为A、B、C,若f(A-
π
6
)=1,BC=
7
,sinB=
21
7
,求AC的长.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

由题意得,f(x)=cos2x+
3
sinx
cosx-class="stub"1
2
=class="stub"1+cos2x
2
+
3
2
sin2x-class="stub"1
2

=sin(2x+class="stub"π
6
)

(I)f(x)的最小正周期T=class="stub"2π
2
=π,
2x+class="stub"π
6
=class="stub"π
2
+kπ
(k∈Z)得,x=class="stub"π
6
+class="stub"kπ
2

则函数的对称轴为:x=class="stub"π
6
+class="stub"kπ
2
(k∈Z),
(II)由f(A-class="stub"π
6
)=1
得,sin(2A-class="stub"π
6
)
=1,
∵0<A<class="stub"π
2
,∴-class="stub"π
6
<2A-class="stub"π
6
<class="stub"5π
6
,则2A-class="stub"π
6
=class="stub"π
2

解得A=class="stub"π
3

在△ABC中,由正弦定理得,class="stub"BC
sinA
=class="stub"AC
sinB
,即
7
sinclass="stub"π
3
=class="stub"AC
21
7

解得AC=2.

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