设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{an}的集合：①对任意n∈N+，an+an+22≤an+1，恒成立；②对任意n∈N+，存在与n无关的常数M，使an≤M恒成立．（Ⅰ）若{an}是等差数列，Sn是其

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设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{a_n}的集合：①对任意n∈N⁺，

an+an+2

≤a_n+1，恒成立；②对任意n∈N⁺，存在与n无关的常数M，使a_n≤M恒成立．
（Ⅰ）若{a_n}是等差数列，S_n是其前n项的和，且a₃=4，S₃=18，试探究数列{S_n}与集合W之间的关系；
（Ⅱ）设数列{b_n}的通项公式为b_n=5n-2ⁿ，且{b_n}∈W，求M的取值范围．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）设等差数列{an}的公差是d，则

a1+2d=4

3a1+3d=18

，解得

a1=8

d=-2

，（2分）
∴Sn=na1+

n(n-1)

d=-n2+9n，
∴

Sn+Sn+2

-Sn+1=

(Sn+2-Sn+1)-(Sn+1-Sn)

an+2-an+1

=class="stub"d

=-1＜0
∴得

Sn+Sn+2

＜Sn+1，适合条件①．（5分）
又Sn=-n2+9n=-(n-class="stub"9

)2+class="stub"81

，
∴所以当n=4或n=5时，Sn取得最大值20，即Sn≤20，适合条件②．（7分）
综上，{Sn}∈W．（8分）
（Ⅱ）∵=5（n+1）-2n+1-5n+=5-2n，
∴当n≥3时，bn+1-bn＜0，此时数列{bn}单调递减；（11分）
当n=1，2时，bn+1-bn＞0，即b1＜b2＜b3，（12分）
因此数列{bn}中的最大项是b3=7，（13分）
∴M≥7，即M的取值范围是[7，+∞）．（14分）

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设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{an}的集合：①对任意n∈N+，an+an+22≤an+1，恒成立；②对任意n∈N+，存在与n无关的常数M，使an≤M恒成立．（Ⅰ）若{an}是等差数列，Sn是其

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