在m(m≥2)个不同数的排列P1P2…Pn中,若1≤i<j≤m时Pi>Pj(即前面某数大于后面某数),则称Pi与Pj构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数.记排列(n+1)n(n-1

题目简介

在m(m≥2)个不同数的排列P1P2…Pn中,若1≤i<j≤m时Pi>Pj(即前面某数大于后面某数),则称Pi与Pj构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数.记排列(n+1)n(n-1

题目详情

在m(m≥2)个不同数的排列P1P2…Pn中,若1≤i<j≤m时Pi>Pj(即前面某数大于后面某数),则称Pi与Pj构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数.记排列(n+1)n(n-1)…321的逆序数为an,如排列21的逆序数a1=1,排列321的逆序数a3=6.
(Ⅰ)求a4、a5,并写出an的表达式;
(Ⅱ)令bn=
an
an+1
+
an+1
an
,证明2n<b1+b2+…+bn<2n+3,n=1,2,….
题型:解答题难度:中档来源:湖南

答案

(Ⅰ)由排列21的逆序数a1=1,排列321的逆序数a2=3,排列4321的逆序数a3=6,得a4=4+3+2+1=10,a5=5+4+3+2+1=15,所以an=n+(n-1)+…+2+1=
n(n+1)
2

(Ⅱ)因为bn=
an
an+1
+
an+1
an
=class="stub"n
n+2
+class="stub"n+2
n
>2
class="stub"n
n+2
•class="stub"n+2
n
=2,n=1,2
,…,
所以b1+b2+…+bn>2n.
又因为bn=class="stub"n
n+2
+class="stub"n+2
n
=2+class="stub"2
n
-class="stub"2
n+2
,n=1,2
,…,
所以b1+b2+…+bn=2n+2[(class="stub"1
1
-class="stub"1
3
)+(class="stub"1
2
-class="stub"1
4
)+…+(class="stub"1
n
-class="stub"1
n+2
)]=2n+3-class="stub"2
n+1
-class="stub"2
n+2
<2n+3

综上,2n<b1+b2+bn<2n+3,n=1,2,…

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