首页 > 设数列{an}满足：a1=，1，a2=53，an+2=53an+1+13an，(n=1，2，…)（1）令bn=an+1-an，（n=1，2…）求数列{bn}的通项公式；（2）求数列{nan}的前n项和

设数列{an}满足：a1=，1，a2=53，an+2=53an+1+13an，(n=1，2，…)（1）令bn=an+1-an，（n=1，2…）求数列{bn}的通项公式；（2）求数列{nan}的前n项和

题目简介

设数列{an}满足：a1=，1，a2=53，an+2=53an+1+13an，(n=1，2，…)（1）令bn=an+1-an，（n=1，2…）求数列{bn}的通项公式；（2）求数列{nan}的前n项和

题目详情

设数列{an}满足：a1=，1，a2=
5
3
，an+2=
5
3
an+1+
1
3
an，(n=1，2，…)
（1）令bn=an+1-an，（n=1，2…）求数列{bn}的通项公式；
（2）求数列{nan}的前n项和Sn．
题型：解答题难度：中档来源：重庆

答案

（1）∵bn+1=an+2-an+1=class="stub"5
3
an+1-class="stub"2
3
an- an+1
=class="stub"2
3
(an+1-an)=class="stub"2
3
bn
∴{bn}是以公比为class="stub"2
3
的等比数列，且b1=a2-a1=class="stub"2
3

∴bn=(class="stub"2
3
)n
（2）由bn=an+1- an =(class="stub"2
3
)n得
an+1-a1=（an+1-an）+（an-an-1）+…+（a2-a1）
=(class="stub"2
3
)n+(class="stub"2
3
)n-1+…+ (class="stub"2
3
)2+class="stub"2
3
=2[1-(class="stub"2
3
)n ]
注意到a1=1，可得an=3-
2n
3n-1

记数列{
n2n-1
3n-1
}的前n项和为Tn，则
Tn=1+2•class="stub"2
3
+…+n•(class="stub"2
3
)n-1，
class="stub"2
3
Tn=class="stub"2
3
+2•(class="stub"2
3
)2+…+n•(class="stub"2
3
)n
两式相减得
class="stub"1
3
Tn=1+class="stub"2
3
+(class="stub"2
3
)2+ …+(class="stub"2
3
)n-1-n•(class="stub"2
3
) n=3[1-(class="stub"2
3
)n]-n(class="stub"2
3
)n
故Tn=9[1-(class="stub"2
3
)n]-3n(class="stub"2
3
)n=9-
(3+n)2n
3n-1

从而Sn=a1+2a2+…+nan=3（1+2+3+…+n）-2Tn
=class="stub"3
2
n(n+1)+
(n+3)2n+1
3n-1
-18

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