设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=1,Sn=13(an+1-1),n∈N*.(1)写出a2,a3的值,并求数列{an}的通项公式;(2)记bn=1log4an+1log4an+2,数列{bn}

题目简介

设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=1,Sn=13(an+1-1),n∈N*.(1)写出a2,a3的值,并求数列{an}的通项公式;(2)记bn=1log4an+1log4an+2,数列{bn}

题目详情

设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=1,Sn=
1
3
(an+1-1)
,n∈N*
(1)写出a2,a3的值,并求数列{an}的通项公式;
(2)记bn=
1
log4an+1log4an+2
,数列{bn}的前n项和为Tn,试比较Tn与1的大小.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)由已知易得:a2=4,a3=16   …(2分)
当n≥2时,由an+1=3Sn+1可得an=3Sn-1+1,两式相减得:an+1=4an,
又由于a1=1,a2=4,
所以数列{an}是以1为首项,4为公比的等比数列,
所以其通项公式为:an=4n-1(n∈N*)…(6分)
(2)由(1)可知bn=class="stub"1
log4an+1log4an+2
=class="stub"1
(n+1)n
=class="stub"1
n
-class="stub"1
n+1
…(8分)
则Tn=(1-class="stub"1
2
)+(class="stub"1
2
-class="stub"1
3
)+…+(class="stub"1
n
-class="stub"1
n+1
)=1-class="stub"1
n+1
<1…(12分)

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