首页 > 已知数列{an}的前n项为和Sn，点(n，Snn)在直线y=12x+112上．数列{bn}满足bn+2-2bn+1+bn=0（n∈N*），且b3=11，前9项和为153．（Ⅰ）求数列{an}、{bn}

已知数列{an}的前n项为和Sn，点(n，Snn)在直线y=12x+112上．数列{bn}满足bn+2-2bn+1+bn=0（n∈N*），且b3=11，前9项和为153．（Ⅰ）求数列{an}、{bn}

题目简介

已知数列{an}的前n项为和Sn，点(n，Snn)在直线y=12x+112上．数列{bn}满足bn+2-2bn+1+bn=0（n∈N*），且b3=11，前9项和为153．（Ⅰ）求数列{an}、{bn}

题目详情

已知数列{an}的前n项为和Sn，点(n，
Sn
n
)在直线y=
1
2
x+
11
2
上．数列{bn}满足bn+2-2bn+1+bn=0（n∈N*），且b3=11，前9项和为153．
（Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设cn=
3
(2an-11)(2bn-1)
，数列{cn}的前n和为Tn，求使不等式Tn＞
k
57
对一切n∈N*都成立的最大正整数k的值．
（Ⅲ）设f(n)=
an(n=2l-1，l∈N*)
bn(n=2，l∈N*).
是否存在m∈N*，使得f（m+15）=5f（m）成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：崇文区一模

答案

（Ⅰ）由题意，得
Sn
n
=class="stub"1
2
n+class="stub"11
2
，即Sn=class="stub"1
2
n2+class="stub"11
2
n.
故当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(class="stub"1
2
n2+class="stub"11
2
n)-[class="stub"1
2
(n-1)2+class="stub"11
2
(n-1)]=n+5.
注意到n=1时，a1=S1=6，而当n=1时，n+5=6，
所以，an=n+5（n∈N*）．
又bn+2-2bn+1+bn=0，即bn+2-bn+1=bn+1-bn（n∈N*），
所以{bn}为等差数列
于是
9(b3+b7)
2
=153.
而b3=11，故b7=23，d=class="stub"23-11
7-3
=3.
因此，bn=b3+3（n-3）=3n+2，即bn=3n+2（n∈N*）．
（Ⅱ）cn=class="stub"3
(2an-11)(2bn-1)
=class="stub"3
[2(n+5)-11][2(3n+2)-1]
=class="stub"1
(2n-1)(2n+1)
=class="stub"1
2
(class="stub"1
2n-1
-class="stub"1
2n+1
).
所以，Tn=c1+c2++cn=class="stub"1
2
[(1-class="stub"1
3
)+(class="stub"1
3
-class="stub"1
5
)+(class="stub"1
5
-class="stub"1
7
)++(class="stub"1
2n-1
-class="stub"1
2n+1
)]=class="stub"1
2
(1-class="stub"1
2n+1
)=class="stub"n
2n+1
.
由于Tn+1-Tn=class="stub"n+1
2n+3
-class="stub"n
2n+1
=class="stub"1
(2n+3)(2n+1)
＞0，
因此Tn单调递增，故(Tn)min=class="stub"1
3
.
令class="stub"1
3
＞class="stub"k
57
，得k＜19，所以Kmax=18.
（Ⅲ）f(n)=
n+5(n=2l-1，l∈N*)
3n+2(n=2l，l∈N*).

①当m为奇数时，m+15为偶数．
此时f（m+15）=3（m+15）+2=3m+47，5f（m）=5（m+5）=5m+25，
所以3m+47=5m+25，m=11．
②当m为偶数时，m+15为奇数．
此时f（m+15）=m+15+5=m+20，5f（m）=5（3m+2）=15m+10，
所以m+20=15m+10，m=class="stub"5
7
∉N*（舍去）．
综上，存在唯一正整数m=11，使得f（m+15）=5f（m）成立．

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