已知数列{an}的前n项和为Sn,点(n,Sn)在函数f(x)=2x-1的图象上,数列{bn}满足bn=log2an-12(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列{bn}的前n项和为

题目简介

已知数列{an}的前n项和为Sn,点(n,Sn)在函数f(x)=2x-1的图象上,数列{bn}满足bn=log2an-12(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列{bn}的前n项和为

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已知数列{an}的前n项和为Sn,点(n,Sn)在函数f(x)=2x-1的图象上,数列{bn}满足bn=log2an-12(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{bn}的前n项和为Tn,当Tn最小时,求n的值;
(3)求不等式Tn<bn的解集.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)依题意:Sn=2n-1(n∈N*),
∴当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1.
当n=1,S1=a1=1,∴an=2n-1(n∈N*);
(2)因为bn=log2an-12=n-13,
所以b1=-12,d=bn-bn-1=(n-13)-(n-1-13)=1.
所以数列{bn}是以-12为首项,以1为公差的等差数列.
∴Tn=-12n+
n(n-1)
2
=
n2-25n
2
=class="stub"1
2
(n-class="stub"25
2
)2-class="stub"625
8

故当n=12或13时,数列{bn}的前n项和最小;
(3)由Tn-bn=
n2-25n
2
-(n-13)=
n2-27n+26
2

=
(n-1)(n-26)
2
<0,
∴1<n<26,且n∈N*,
所以不等式的解集为{n|1<n<26,n∈N*}.

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