首页 > 对于数列{an}，若存在一个常数M，使得对任意的n∈N*，都有|an|≤M，则称{an}为有界数列．（Ⅰ）判断an=2+sinn是否为有界数列并说明理由．（Ⅱ）是否存在正项等比数列{an}，使得{an

对于数列{an}，若存在一个常数M，使得对任意的n∈N*，都有|an|≤M，则称{an}为有界数列．（Ⅰ）判断an=2+sinn是否为有界数列并说明理由．（Ⅱ）是否存在正项等比数列{an}，使得{an

题目简介

对于数列{an}，若存在一个常数M，使得对任意的n∈N*，都有|an|≤M，则称{an}为有界数列．（Ⅰ）判断an=2+sinn是否为有界数列并说明理由．（Ⅱ）是否存在正项等比数列{an}，使得{an

题目详情

对于数列{an}，若存在一个常数M，使得对任意的n∈N*，都有|an|≤M，则称{an}为有界数列．
（Ⅰ）判断an=2+sinn是否为有界数列并说明理由．
（Ⅱ）是否存在正项等比数列{an}，使得{an}的前n项和Sn构成的数列{Sn}是有界数列？若存在，求数列{an}的公比q的取值范围；若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）判断数列an=
1
3
+
1
5
+
1
7
+…+
1
2n-1
(n≥2)是否为有界数列，并证明．
题型：解答题难度：中档来源：重庆一模

答案

（Ⅰ）1≤an=2+sinn≤3，
故{an}为有界数列…（2分）
（Ⅱ）设公比为q，当0＜q＜1时，Sn=
a1(1-qn)
1-q
＜
a1
1-q
，
则正数数列{Sn}满足|Sn|＜
a1
1-q
，即为有界数列；
当q=1时，Sn=na1→+∞，故为无界数列；
当q＞1时，Sn=a1+a2+…+an＞na1→+∞，此时为无界数列．
综上：当且仅当0＜q＜1时，{Sn}为有界数列…（6分）．
（Ⅲ）{an}为无界数列，事实上an=class="stub"1
3
+class="stub"1
5
+class="stub"1
7
+…+class="stub"1
2n-1
＞class="stub"1
4
+class="stub"1
6
+class="stub"1
8
+…+class="stub"1
2n

∴2an＞class="stub"1
3
+class="stub"1
4
+class="stub"1
5
+class="stub"1
6
+…+class="stub"1
2n-1
+class="stub"1
2n

∴2a2n＞class="stub"1
3
+class="stub"1
4
+class="stub"1
5
+class="stub"1
6
+…+class="stub"1
2•2n
=(class="stub"1
3
+class="stub"1
4
)+(class="stub"1
5
+class="stub"1
6
+class="stub"1
7
+class="stub"1
8
)+(class="stub"1
9
+…+class="stub"1
16
)+…+(class="stub"1
2n+1
+class="stub"1
2n+2
+…+class="stub"1
2n+2n
)＞class="stub"1
4
×2+class="stub"1
8
×4+class="stub"1
16
×8+…+class="stub"1
2n×2
×2n=class="stub"n
2

∴a2n＞class="stub"n
4

故当n无限增大时an也无限增大，
所以{an}无界…（12分）．

更多内容推荐

Copyright © 2018-2020 360优课网